【算法基础26】贪心下——哈夫曼树、排序不等式、绝对值不等式、推公式的思路与应用

一、合并果子（哈夫曼树）

题目描述：给出n堆不同种类的果子，每堆果子的数量不同，每个果子的重量为1。每次只能合并相邻堆的果子，且花费的体力是果子的重量和。将所有果子合并成一堆，求最小的体力花费。

问题分析：每次选出重量最小的两堆进行合并，并将合并后的堆的重量加入，最终从下往上地构成了一颗哈夫曼树，树的根为合并所有果子的最小体力花费。

具体解法：

#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;int main(){int n;cin>>n;priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> heap;//小根堆while(n--){int x;cin>>x;heap.push(x);}int res=0;while(heap.size()>1){int a=heap.top();heap.pop();//找出最小的两个元素int b=heap.top();heap.pop();res+=a+b;heap.push(a+b);//将合并后的数加入小根堆}cout<<res;//注意heap.top()只是最后一次合并的开销，不是总开销return 0;
}

输出示例：

二、排队打水（排序不等式）

题目描述：有n个人排队打水，每个人接水的时间是 ti ，怎样安排才能使总共等待时间最小？输出最小等待时间。

题目分析：设第一个人打水的时间为t1，可知总时间T=t1*(n-1)+t2*(n-2)....+tn，则可以按照打水时间从小到大进行排队，总时间最短。

具体解法：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;const int N=1010;
int t[N];int main(){int n;cin>>n;for(int i=0;i<n;i++) cin>>t[i];sort(t,t+n);long long res=0;//防止结果溢出for(int i=0;i<n;i++) res+=t[i]*(n-i-1);cout<<res;return 0;
}

输出示例：

三、货仓选址（绝对值不等式）

题目描述：在数轴上有N家商店位于A1、A2...An，建立一家货仓使得每家商店到货仓的距离之和最小，求最小距离为多少。

问题分析：将函数项首尾分组，可以将求所有商店到货仓的距离转化为n/2个两商店到货仓距离的子问题。又由 |a-x| + |b-x| <= b-a 可以将函数进行放缩，当 x 取为n个数的中位数时可以使等号成立，此时该距离为最短距离。

具体解法：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;const int N=1010;
int a[N];int main(){int n;cin>>n;for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];sort(a,a+n);int res=0;for(int i=0;i<n;i++) res+=abs(a[i]-a[n/2]);cout<<res;return 0;
}

输出示例：

四、耍杂技的牛（推公式）

题目描述：n只牛叠罗汉，每只牛的重量为w，强壮值为s，危险系数为上面所有牛的重量减去它自身的强壮系数。求危险系数的最大值最小为多少。

问题分析：重量排序类比排队打水问题，重量小的放在前面累加的次数少，而强壮值越大所能承受的重量越大，越应该排在后。综合之后按照w+s排序。

具体解法：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;const int N=1010;
typedef pair<int,int> PII;
PII cow[N];int main(){int n;cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){int w,s;cin>>w>>s;cow[i]={w+s,w};//要按w+s排序，可以直接把第一个数存成w+s}sort(cow,cow+n);int res=-2e9,sum=0;for(int i=0;i<n;i++){int w=cow[i].second,s=cow[i].first-w;//由和以及一个已知数能求另一个未知数res=max(res,sum-s);sum+=w;}cout<<res;return 0;
}

输出示例：

参考资料：acwing算法基础