- 例3 计算行列式的值。
- - （3）设A\bm{A}A为mmm阶矩阵，B\bm{B}B为nnn阶矩阵，且∣A∣=a,∣B∣=b,C=[OABO]|\bm{A}|=a,|\bm{B}|=b,\bm{C}=\begin{bmatrix}\bm{O}&\bm{A}\\\bm{B}&\bm{O}\end{bmatrix}∣A∣=a,∣B∣=b,C=[OBAO]，则∣C∣=|\bm{C}|=∣C∣=______。
- 例16 已知A\bm{A}A和B\bm{B}B都是nnn阶非零矩阵，满足AB=O\bm{AB}=\bm{O}AB=O，证明∣A∣=0|\bm{A}|=0∣A∣=0。
- 例20 若∣A∣=∣1234522211312451112243150∣|\bm{A}|=\begin{vmatrix}1&2&3&4&5\\2&2&2&1&1\\3&1&2&4&5\\1&1&1&2&2\\4&3&1&5&0\end{vmatrix}∣A∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1231422113322114142551520∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣，则A31+A32+A33=A_{31}+A_{32}+A_{33}=A31+A32+A33=______。
写在最后

例3 计算行列式的值。

（3）设A\bm{A}A为mmm阶矩阵，B\bm{B}B为nnn阶矩阵，且∣A∣=a,∣B∣=b,C=[OABO]|\bm{A}|=a,|\bm{B}|=b,\bm{C}=\begin{bmatrix}\bm{O}&\bm{A}\\\bm{B}&\bm{O}\end{bmatrix}∣A∣=a,∣B∣=b,C=[OBAO]，则∣C∣=|\bm{C}|=∣C∣=______。

解直接用拉普拉斯展开式，有
∣C∣=∣OABO∣=(−1)nm∣A∣∣B∣=(−1)nmab.|\bm{C}|=\begin{vmatrix}\bm{O}&\bm{A}\\\bm{B}&\bm{O}\end{vmatrix}=(-1)^{nm}|\bm{A}||\bm{B}|=(-1)^{nm}ab. ∣C∣=∣∣∣∣OBAO∣∣∣∣=(−1)nm∣A∣∣B∣=(−1)nmab.
（这道题主要利用了拉普拉斯展开式求解）

例16 已知A\bm{A}A和B\bm{B}B都是nnn阶非零矩阵，满足AB=O\bm{AB}=\bm{O}AB=O，证明∣A∣=0|\bm{A}|=0∣A∣=0。

解如∣A∣≠0|\bm{A}|\ne0∣A∣=0，则A\bm{A}A可逆，那么对AB=O\bm{AB}=\bm{O}AB=O两边用A−1\bm{A}^{-1}A−1乘，得B=A−1AB=A−1O=O\bm{B}=\bm{A}^{-1}\bm{AB}=\bm{A}^{-1}\bm{O}=\bm{O}B=A−1AB=A−1O=O，与B≠O\bm{B}\ne\bm{O}B=O矛盾。（这道题主要利用了反证法求解）

例20 若∣A∣=∣1234522211312451112243150∣|\bm{A}|=\begin{vmatrix}1&2&3&4&5\\2&2&2&1&1\\3&1&2&4&5\\1&1&1&2&2\\4&3&1&5&0\end{vmatrix}∣A∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1231422113322114142551520∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣，则A31+A32+A33=A_{31}+A_{32}+A_{33}=A31+A32+A33=______。

解显然，
∣B1∣=∣1234522211222111112243150∣=0,∣B2∣=∣1234522211111221112243150∣=0,|\bm{B}_1|=\begin{vmatrix}1&2&3&4&5\\2&2&2&1&1\\\bm{2}&\bm{2}&\bm{2}&\bm{1}&\bm{1}\\1&1&1&2&2\\4&3&1&5&0\end{vmatrix}=0,|\bm{B}_2|=\begin{vmatrix}1&2&3&4&5\\2&2&2&1&1\\\bm{1}&\bm{1}&\bm{1}&\bm{2}&\bm{2}\\1&1&1&2&2\\4&3&1&5&0\end{vmatrix}=0, ∣B1∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1221422213322114112551120∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=0,∣B2∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1211422113321114122551220∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=0,
即有{2(A31+A32+A33)+(A34+A35)=0,(A31+A32+A33)+2(A34+A35)=0.\begin{cases}2(A_{31}+A_{32}+A_{33})+(A_{34}+A_{35})=0,\\(A_{31}+A_{32}+A_{33})+2(A_{34}+A_{35})=0.\end{cases}{2(A31+A32+A33)+(A34+A35)=0,(A31+A32+A33)+2(A34+A35)=0.
记A31+A32+A33=x,A34+A35=yA_{31}+A_{32}+A_{33}=x,A_{34}+A_{35}=yA31+A32+A33=x,A34+A35=y，则有{2x+y=0,x+2y=0,\begin{cases}2x+y=0,\\x+2y=0,\end{cases}{2x+y=0,x+2y=0,即x=0,y=0x=0,y=0x=0,y=0。故A31+A32+A33=0A_{31}+A_{32}+A_{33}=0A31+A32+A33=0。（这道题主要利用了构造方程组求解）

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