[Luogu P3642] [BZOJ 4585] [APIO2016]烟火表演

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题目描述

烟花表演是最引人注目的节日活动之一。在表演中,所有的烟花必须同时爆炸。为了确保安全，烟花被安置在远离开关的位置上，通过一些导火索与开关相连。导火索的连接方式形成一棵树，烟花是树叶，如图所示。火花从开关出发，沿导火索移动。每当火花抵达一个分叉点时，它会扩散到与之相连的所有导火索，继续燃烧。导火索燃烧的速度是一个固定常数。图中展示了六枚烟花 {E1,E2,…,E6}{E1,E2,…,E6}\{E_1, E_2, \dots, E_6\} 的连线布局，以及每根导火索的长度。图中还标注了当在时刻 000 从开关点燃火花时，每一发烟花的爆炸时间。

Hyunmin 为烟花表演设计了导火索的连线布局。不幸的是，在他设计的布局中，烟花不一定同时爆炸。我们希望修改一些导火索的长度，让所有烟花在同一时刻爆炸。例如，为了让图中的所有烟花在时刻 13" role="presentation" style="position: relative;">131313 爆炸，我们可以像下图中左边那样调整导火索长度。类似地，为了让图中的所有烟花在时刻 141414 爆炸，我们可以像下图中右边那样调整长度。

修改导火索长度的代价等于修改前后长度之差的绝对值。例如，将上面那副图中布局修改为下面那副图的左边布局的总代价为 666 ，而修改为右边布局的总代价为 5" role="presentation" style="position: relative;">555 。

导火索的长度可以被减为 000 ，同时保持连通性不变。

给定一个导火索的连线布局，你需要编写一个程序，去调整导火索长度，让所有的烟花在同一时刻爆炸，并使得代价最小。

输入输出格式

输入格式：

所有的输入均为正整数。令 N" role="presentation" style="position: relative;">NNN 代表分叉点的数量， MMM 代表烟花的数量。分叉点从 1" role="presentation" style="position: relative;">111 到 NNN 编号，编号为 1" role="presentation" style="position: relative;">111 的分叉点是开关。烟花从 N+1N+1N + 1 到 N+MN+MN + M 编号。

输入第一行为 N,MN,MN, M。后面 N+M−1N+M−1N + M - 1 行，第 iii 行两个整数 Pi+1,Ci+1" role="presentation" style="position: relative;">Pi+1,Ci+1Pi+1,Ci+1P_{i + 1}, C_{i + 1} 。其中 PiPiP_i 满足 1≤Pi<i1≤Pi<i1 \leq P_i ，代表和分叉点或烟花 iii 相连的分叉点。 Ci" role="presentation" style="position: relative;">CiCiC_i 代表连接它们的导火索长度（ 1≤Ci≤1091≤Ci≤1091 \leq C_i \leq 10^9 ）除开关外，每个分叉点和多于 111 条导火索相连，而每发烟花恰好与 1" role="presentation" style="position: relative;">111 条导火索相连。

输出格式：

输出调整导火索长度，让所有烟花同时爆炸，所需要的最小代价。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

说明

【数据规模】

子任务 1（7 分）： N=1N=1N = 1,1≤M≤1001≤M≤1001 \leq M \leq 100 。

子任务 2（19 分）： 1≤M≤3001≤M≤3001 \leq M \leq 300 ，且开关到任一烟花的距离不超过 300300300 。

子任务 3（29 分）： 1≤M≤50001≤M≤50001 \leq M \leq 5000 。

子任务 4（45 分）： 1≤M≤3000001≤M≤3000001 \leq M \leq 300000 。

解题分析

神题啊QAQ蒟蒻搞了好久才弄明白…

首先我们考虑fA(x)fA(x)f_A(x)表示将AAA点子树内所有烟火爆炸时间变为x" role="presentation" style="position: relative;">xxx的花费，显然这是个下凸的函数，并且fA(0)=∑leafi∈subtree[A]dis[i]fA(0)=∑leafi∈subtree[A]dis[i]f_A(0)=\sum _{leaf_i\in subtree[A]}dis[i]。

然后我们考虑从fA(x)fA(x)f_A(x)转移到ffat[A](x)ffat[A](x)f_{fat[A]}(x)的过程。设[L,R][L,R][L,R]为f(x)f(x)f(x)上最低的一段，dis[A]dis[A]dis[A]为A→fat[A]A→fat[A]A\to fat[A]的长度，f′A(x)fA′(x)f_A'(x)为转移后的函数。

对于x∈[0,L]x∈[0,L]x\in [0,L]，显然我们要将新的导火索清零，所以这一段函数向上平移dis[A]dis[A]dis[A]，即f′A(x)=fA(x)+dis[A]fA′(x)=fA(x)+dis[A]f_A'(x)=f_A(x)+dis[A]。
对于x∈[L+1,L+dis[A]−1]x∈[L+1,L+dis[A]−1]x\in [L+1,L+dis[A]-1]，我们可以不修改以前的导火索，只减短新的导火索的长度。f′A(x)=fA(x)+dis[A]−(x−L)fA′(x)=fA(x)+dis[A]−(x−L)f'_A(x)=f_A(x)+dis[A]-(x-L)。
对于x∈[L+dis[A],R+dis[A]]x∈[L+dis[A],R+dis[A]]x\in [L+dis[A],R+dis[A]]，这一截就是原来的[L,R][L,R][L,R]转移过来的，所以f′A(x)=fA(L)fA′(x)=fA(L)f'_A(x)=f_A(L)。
对于x∈[R+dis[A]+1,+∞)x∈[R+dis[A]+1,+∞)x\in [R+dis[A]+1,+∞)，我们可以加长新的导火索的长度，所以f′A(x)=fA(R)+x−(R+dis[A])fA′(x)=fA(R)+x−(R+dis[A])f'_A(x)=f_A(R)+x-(R+dis[A])

也就是说大概是这个样子(dis[A]=2的情况)：

可以发现其实就是把fA(x)fA(x)f_A(x)斜率非负的一半砍掉，另一半向上平移，再加入斜率为−1,0,1−1,0,1-1,0,1的三段直线。

考虑如何合并几个凸包的f′(x)f′(x)f'(x)从而得到ffat[A](x)ffat[A](x)f_{fat[A]}(x)。大概就像下面这样：

然后我们可以发现，对于合并后的凸包，每个原来的节点都会使斜率+1+1+1（其实上图的A→B→C→D→EA→B→C→D→EA\to B \to C\to D\to E这个凸包的BBB点少画了一个重合的点）。所以我们用一个可并堆直接暴力合并子树中的凸包。

那么如何得到合并后凸包的最小值？我们可以发现合并后的凸包的斜率为正部分的点数就是子树的个数，所以直接弹出son[fat[A]]" role="presentation" style="position: relative;">son[fat[A]]son[fat[A]]son[fat[A]]次即可。

但这样处理后我们只得到了[L,R][L,R][L,R]区间，并没有得到对应的花费。这时有一个更妙妙的性质：因为每个点都会使凸包斜率+1，所以考虑一个在xixix_i位置的点，其对花费的贡献是−xi−xi-x_i，所以我们一边弹堆一边用总路径和（即为f1(x)f1(x)f_1(x)）减去堆顶的元素。

（如果还有不太懂的同学可以画画图演示，博主反正是画图才懂QAQ）

下面是~~极其简短的~~代码（pb_ds大法好）

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#define R register
#define IN inline
#define gc getchar()
#define W while
#define MX 300050
#define ll long long
template <class T>
IN void in(T &x)
{x = 0; R char c = gc;W (!isdigit(c)) c = gc;W (isdigit(c))x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48, c = gc;
}
__gnu_pbds::priority_queue <ll> que[MX];
int son[MX], fat[MX], dis[MX], rop, fir;
ll sum;
int main(void)
{ll lef, rig;in(rop), in(fir); int bd = rop + fir;for (R int i = 2; i <= bd; ++i){in(fat[i]), in(dis[i]);son[fat[i]]++; sum += dis[i];}for (R int i = bd; i >= 2; --i){lef = rig = 0;if(i <= rop){W (--son[i]) que[i].pop();lef = que[i].top(), que[i].pop();rig = que[i].top(), que[i].pop();}que[i].push(lef + dis[i]), que[i].push(rig + dis[i]);que[fat[i]].join(que[i]);//配对堆骚操作，直接合并}W (son[1]--) que[1].pop();W (!que[1].empty()) sum -= que[1].top(), que[1].pop();printf("%lld", sum);
}