BZOJ4585: [Apio2016]烟火表演

Description

烟花表演是最引人注目的节日活动之一。在表演中，所有的烟花必须同时爆炸。为了确保安

全，烟花被安置在远离开关的位置上，通过一些导火索与开关相连。导火索的连接方式形成

一棵树，烟花是树叶，如[图1]所示。火花从开关出发，沿导火索移动。每当火花抵达一个分

叉点时，它会扩散到与之相连的所有导火索，继续燃烧。导火索燃烧的速度是一个固定常

数。[图1]展示了六枚烟花{E1,E2...E6 }的连线布局，以及每根导火索的长度。图中还标

注了当在时刻从开关点燃火花时，每一发烟花的爆炸时间。

Hyunmin为烟花表演设计了导火索的连线布局。不幸的是，在他设计的布局中，烟花不一定

同时爆炸。我们希望修改一些导火索的长度，让所有烟花在同一时刻爆炸。例如，为了让[图

1]中的所有烟花在时刻 13爆炸，我们可以像[图2]中左边那样调整导火索长度。类似地，为

了让[图1]中的所有烟花在时刻 14爆炸，我们可以像[图2]中右边那样调整长度。

修改导火索长度的代价等于修改前后长度之差的绝对值。例如，将[图1]中布局修改为[图2]

左边布局的总代价为6 ，而将[图1]中布局修改为[图2]右边布局的总代价为 5.

导火索的长度可以被减为0 ，同时保持连通性不变。

给定一个导火索的连线布局，你需要编写一个程序，去调整导火索长度，让所有的烟花在同

一时刻爆炸，并使得代价最小。

Input

所有的输入均为正整数。令 N代表分叉点的数量， M代表烟花的数量。分叉点从1 到N 编

号，编号为1 的分叉点是开关。烟花从N+1 到 N+M编号。1<=N+M<=300,000

输入格式如下：

N M

P₂ C₂

P₃ C₃

...

P_n C_n

P_N+1 C_N+1

...

P_N+m C_N+M

其中Pi 满足 1<=Pi<i，代表和分叉点或烟花i 相连的分叉点。 Ci代表连接它们的导火索长

度( 1<=Ci<=10^9)。除开关外，每个分叉点和多于1 条导火索相连，而每发烟花恰好与 1条导

火索相连。

Output

输出调整导火索长度，让所有烟花同时爆炸，所需要的最小代价

Sample Input

4 6
1 5
2 5
2 8
3 3
3 2
3 3
2 9
4 4
4 3

Sample Output

HINT

Source

可并堆

考虑一个点f(x)表示将这个点子树所有叶节点深度变成x的最小代价

发现是个下凸函数，并且是线性的

对于一个点，假设f(x=[L,R])取得最小值

考虑加上到父亲的边权w

if(x<=L) f(x)=f(x)+w

if(L<x<=L+w) f(x)=f(L)+w-(x-L)

if(L+w<x<=R+w) f(x)=f(L)

if(x>R+w) f(x)=f(L)+x-R-w

发现实际上是把第一段向上平移，中间加入斜率为-1,0,1的直线

把多个合并起来，右边的斜率最大值就是其度数

那么我们考虑它到父亲贡献时，把斜率为正的点都pop掉

然后暴力添加拐点即可，每次只会加2个

合并就直接用可并堆了，我写的左偏树

最后取出1这个点的最小值时，我们是这样计算的

把斜率>=0的都pop掉，提取1-L的所有点

f(0)=∑树边权，然后斜率每次-1直到0

那么从右往左减就可以了

sum-=p[i]可以理解为把p[i]的斜率=-1的贡献算进去，然后前面所有直线斜率-=1

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int MAXN = 600060;struct node
{int l, r, dis;long long v;
}e[MAXN];long long p[MAXN], sum;
int n, m, tot, fa[MAXN], len[MAXN], rt[MAXN], d[MAXN], cnt;inline int merge(int x, int y)
{if( !x || !y ) return x + y;if( e[ x ].v < e[ y ].v ) swap( x, y );e[ x ].r = merge( e[ x ].r, y );if( e[ e[ x ].l ].dis < e[ e[ x ].r ].dis ) swap( e[ x ].l, e[ x ].r );if( !e[ x ].r ) e[ x ].dis = 0;else e[ x ].dis = e[ e[ x ].r ].dis + 1;return x;
}inline int pop(int x) { return merge( e[ x ].l, e[ x ].r ); }int main()
{scanf( "%d%d", &n, &m );for( int i = 2 ; i <= n + m ; i++ ){scanf( "%d%d", &fa[ i ], &len[ i ] );sum += len[ i ];d[ fa[ i ] ]++;}for( int i = n + m ; i > 1 ; i-- ){long long l = 0, r = 0;if( i <= n ){while( --d[ i ] ) rt[ i ] = pop( rt[ i ] );r = e[ rt[ i ] ].v; rt[ i ] = pop( rt[ i ] );l = e[ rt[ i ] ].v; rt[ i ] = pop( rt[ i ] );}e[ ++tot ].v = l + len[ i ];e[ ++tot ].v = r + len[ i ];rt[ i ] = merge( rt[ i ], merge( tot, tot - 1 ) );rt[ fa[ i ] ] = merge( rt[ fa[ i ] ], rt[ i ] );}while( d[ 1 ]-- ) rt[ 1 ] = pop( rt[ 1 ] );while( rt[ 1 ] ) p[ ++cnt ] = e[ rt[ 1 ] ].v, rt[ 1 ] = pop( rt[ 1 ] );for( int i = 1 ; i <= cnt ; i++ )sum -= p[ i ];cout << sum << endl;return 0;
}