312. Burst Balloons 戳气球

Title

有 n 个气球，编号为0 到 n-1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。如果你戳破气球 i ，就可以获得 nums[left] * nums[i] * nums[right] 个硬币。这里的 left 和 right 代表和 i 相邻的两个气球的序号。注意当你戳破了气球 i 后，气球 left 和气球 right 就变成了相邻的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

说明:

你可以假设 nums[-1] = nums[n] = 1，但注意它们不是真实存在的所以并不能被戳破。
0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100

示例:

输入: [3,1,5,8]
输出: 167
解释: nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] -->   [3,8]   -->  [8]  --> []coins =  3*1*5      +  3*5*8    +  1*3*8      + 1*8*1   = 167

动态规划

为了方便处理，我们对 nums 数组稍作处理，将其两边各加上题目中假设存在的 nums[−1] 和 nums[n] ，并保存在 val 数组中，即 val[i]=nums[i−1] 。之所以这样处理是为了处理 nums[−1] ，防止下标越界。

逆向思维，戳气球会导致两个气球从不相邻变成相邻，很难处理，我们倒过来看，将全过程看作是每次添加一个气球。

令 dp[i][j] 表示填满开区间 (i,j) 能得到的最多硬币数，那么边界条件是 i≥j−1，此时有 dp[i][j]=0。

可以写出状态转移方程：

dp[i][j]={maxk=i+1j−1val[i]×val[k]×val[j]+dp[i][k]+dp[k][j],i<j−10,i>=j−1dp[i][j]=\begin{cases} max^{j-1}_{k=i+1}val[i]×val[k]×val[j]+dp[i][k]+dp[k][j],\quad i<j-1 \\\\ 0,\quad i>=j-1 \end{cases}dp[i][j]=⎩⎪⎨⎪⎧maxk=i+1j−1val[i]×val[k]×val[j]+dp[i][k]+dp[k][j],i<j−10,i>=j−1

最终答案即为 dp[0][n+1]。实现时要注意到动态规划的次序。

Code

 def maxCoins(self, nums: List[int]) -> int:length, val = len(nums), [1] + nums + [1]dp = [[0] * (length + 2) for _ in range(length + 2)]for i in range(length - 1, -1, -1):for j in range(i + 2, length + 2):for k in range(i + 1, j):total = val[i] * val[k] * val[j]total += dp[i][k] + dp[k][j]dp[i][j] = max(dp[i][j], total)return dp[0][length + 1]

复杂度分析

时间复杂度：O(n³)，其中 n 是气球数量。状态数为 n²，状态转移复杂度为 O(n)，最终复杂度为 O(n²×n)=O(n³)。

空间复杂度：O(n²)，其中 n 是气球数量。