第二十六讲有特殊特征值的微分方程组

一，温度扩散问题：
假设有三个房间，房间初始温度分别为：高、中、低，但经过一段时间后，三个房间互相交换热量，最终稳定在同一个温度上。假设房间温度分别为：X1,X2,X3X_{1},X_{2},X_{3}X1,X2,X3，如图：

温度Xi(t)X_{i}(t)Xi(t)是时间的函数

二，建立微分方程组：
根据温度变化率，建立数学模型：X1′=a(X3−X1)+a(X2−X1){X_{1}}'=a(X_{3}-X_{1})+a(X_{2}-X_{1})X1′=a(X3−X1)+a(X2−X1)，a是传导常数
化简：X1′=−2aX1+aX2+aX3{X_{1}}'=-2aX_{1}+aX_{2}+aX_{3}X1′=−2aX1+aX2+aX3
假设a=1：X1′=−2X1+X2+X3{X_{1}}'=-2X_{1}+X_{2}+X_{3}X1′=−2X1+X2+X3
同理，建立方程组：
{X1′=−2X1+X2+X3X2′=X1−2X2+X3X3′=X1+X2−2X3\left\{\begin{matrix}{X_{1}}'=-2X_{1}+X_{2}+X_{3}\\ {X_{2}}'=X_{1}-2X_{2}+X_{3} \\ {X_{3}}'=X_{1}+X_{2}-2X_{3}\end{matrix}\right.⎩⎨⎧X1′=−2X1+X2+X3X2′=X1−2X2+X3X3′=X1+X2−2X3
用矩阵表示：
[X1′X2′X3′]=[−2111−2111−2][X1X2X3]\begin{bmatrix}{X_{1}}'\\ {X_{2}}'\\ {X_{3}}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1\\ 1 & -2 & 1\\ 1 & 1 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X_{1}\\ X_{2}\\ X_{3}\end{bmatrix}⎣⎡X1′X2′X3′⎦⎤=⎣⎡−2111−2111−2⎦⎤⎣⎡X1X2X3⎦⎤

三，求特征值λ\lambdaλ和特征向量x⃗\vec{x}x：
∣A−λI∣=[−2−λ111−2−λ111−2−λ]=0\left | A-\lambda I \right |=\begin{bmatrix}-2-\lambda & 1 & 1\\ 1 & -2-\lambda & 1\\ 1 & 1 & -2-\lambda\end{bmatrix}=0∣A−λI∣=⎣⎡−2−λ111−2−λ111−2−λ⎦⎤=0
解得：λ1=0，λ2=−3，λ3=−3\lambda _{1}=0，\lambda _{2}=-3，\lambda _{3}=-3λ1=0，λ2=−3，λ3=−3

将λ1=0\lambda _{1}=0λ1=0代入[−2−λ111−2−λ111−2−λ][x1x2x3]=0\begin{bmatrix}-2-\lambda & 1 & 1\\ 1 & -2-\lambda & 1\\ 1 & 1 & -2-\lambda\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=0⎣⎡−2−λ111−2−λ111−2−λ⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=0，得：[−2111−2111−2][x1x2x3]=0\begin{bmatrix}-2 & 1 & 1\\ 1 & -2 & 1\\ 1 & 1 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=0⎣⎡−2111−2111−2⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=0
解得[x1x2x3]=c1[111]\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}⎣⎡x1x2x3⎦⎤=c1⎣⎡111⎦⎤
物理洞察力：因为当经过一段时间后三个房间的温度一样，所以解应该是c1[111]c_{1}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}c1⎣⎡111⎦⎤，c1c_{1}c1为任意常数
将λ2=λ3=−3\lambda _{2}=\lambda _{3}=-3λ2=λ3=−3代入[−2−λ111−2−λ111−2−λ][x1x2x3]=0\begin{bmatrix}-2-\lambda & 1 & 1\\ 1 & -2-\lambda & 1\\ 1 & 1 & -2-\lambda\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=0⎣⎡−2−λ111−2−λ111−2−λ⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=0，得：[111111111][x1x2x3]=0\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=0⎣⎡111111111⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=0
设自由变量x1=0x_{1}=0x1=0，得[x1x2x3]=c2[01−1]\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=c_{2}\begin{bmatrix}0\\ 1\\ -1\end{bmatrix}⎣⎡x1x2x3⎦⎤=c2⎣⎡01−1⎦⎤
设自由变量x2=0x_{2}=0x2=0，得[x1x2x3]=c3[10−1]\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=c_{3}\begin{bmatrix}1\\ 0\\ -1\end{bmatrix}⎣⎡x1x2x3⎦⎤=c3⎣⎡10−1⎦⎤
多余解（线性相关的解）：[x1x2x3]=c2[01−1]−c3[10−1]=c4[−110]\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{bmatrix}=c_{2}\begin{bmatrix}0\\ 1\\ -1\end{bmatrix}-c_{3}\begin{bmatrix}1\\ 0\\ -1\end{bmatrix}=c_{4}\begin{bmatrix}-1\\ 1\\ 0\end{bmatrix}⎣⎡x1x2x3⎦⎤=c2⎣⎡01−1⎦⎤−c3⎣⎡10−1⎦⎤=c4⎣⎡−110⎦⎤

四，方程组的通解：
[X1X2X3]=c1[111]+c2[01−1]e−3t+c3[10−1]e−3t\begin{bmatrix}X_{1}\\ X_{2}\\ X_{3}\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}+c_{2}\begin{bmatrix}0\\ 1\\ -1\end{bmatrix}e^{-3t}+c_{3}\begin{bmatrix}1\\ 0\\ -1\end{bmatrix}e^{-3t}⎣⎡X1X2X3⎦⎤=c1⎣⎡111⎦⎤+c2⎣⎡01−1⎦⎤e−3t+c3⎣⎡10−1⎦⎤e−3t
当时间t→∞时，e^{-3t}→0，c2[01−1]e−3tc_{2}\begin{bmatrix}0\\ 1\\ -1\end{bmatrix}e^{-3t}c2⎣⎡01−1⎦⎤e−3t和c3[10−1]e−3tc_{3}\begin{bmatrix}1\\ 0\\ -1\end{bmatrix}e^{-3t}c3⎣⎡10−1⎦⎤e−3t为暂态解，c1[111]c_{1}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}c1⎣⎡111⎦⎤为稳态解

五，完备特征值和不完备特征值：

完备特征值：如果λ\lambdaλ是重复特征值，并且可找到足够的线性不相关的特征向量，来构造所需数量的独立解。这种重复特征值叫完备特征值。
不完备特征值：如果λ\lambdaλ是重复特征值，但找不到到足够的线性不相关的特征向量，来构造所需数量的独立解。这种重复特征值叫不完备特征值。

六，主轴定理（谱定理）：
如果A是实数nxn的对称矩阵，那么A的所有特征值都是完备的。

七，处理复数特征值：
例题：[x′y′]=[12−1−1][xy]\begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\ -1 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}[x′y′]=[1−12−1][xy]，求[xy]\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}[xy]

根据λ\lambdaλ的性质：λ1+λ2=0\lambda_{1}+\lambda_{2}=0λ1+λ2=0，λ1×λ2=1\lambda_{1}\times \lambda_{2}=1λ1×λ2=1，解得：λ1=i\lambda_{1}=iλ1=i，λ2=−i\lambda_{2}=-iλ2=−i
将λ1=i\lambda _{1}=iλ1=i带入（不需要两个λ\lambdaλ都带入，因为解都是一样的，只是带负号）得：[1−i2−1−1−i][xy]=0\begin{bmatrix}1-i &2 \\ -1 & -1-i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=0[1−i−12−1−i][xy]=0
设自由变量x=1x=1x=1，得[xy]=[1−1+i2]\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ \frac{-1+i}{2}\end{bmatrix}[xy]=[12−1+i]
复数解为：[xy]=[1−1+i2]eit\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ \frac{-1+i}{2}\end{bmatrix}e^{it}[xy]=[12−1+i]eit
分开实部和虚部：[1−1+i2]eit=([1−12]+i[012])(cos(t)+isin(t))\begin{bmatrix}1\\ \frac{-1+i}{2}\end{bmatrix}e^{it}=\left ( \begin{bmatrix}1\\ -\frac{1}{2}\end{bmatrix}+i\begin{bmatrix}0\\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}\right )\left (cos(t)+isin(t) \right )[12−1+i]eit=([1−21]+i[021])(cos(t)+isin(t))
取出实数部分：[xy]=[1−12]cos(t)−[012]sin(t)\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ -\frac{1}{2}\end{bmatrix}cos(t)-\begin{bmatrix}0\\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}sin(t)[xy]=[1−21]cos(t)−[021]sin(t)，{x=cos(t)y=−12(cos(t)+sin(t))\left\{\begin{matrix}x=cos(t)\\ y=-\frac{1}{2}(cos(t)+sin(t))\end{matrix}\right.{x=cos(t)y=−21(cos(t)+sin(t))
取出虚数部分：[xy]=i[012]cos(t)+i[1−12]sin(t)\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=i\begin{bmatrix}0\\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}cos(t)+i\begin{bmatrix}1\\ -\frac{1}{2}\end{bmatrix}sin(t)[xy]=i[021]cos(t)+i[1−21]sin(t)，{x=isin(t)y=12(icos(t)−isin(t))\left\{\begin{matrix}x=isin(t)\\ y=\frac{1}{2}(icos(t)-isin(t))\end{matrix}\right.{x=isin(t)y=21(icos(t)−isin(t))
如果将x带入y，消去t，会得到一个关于x和y的二次多项式，等于0，图像是椭圆，随着t变化，它的值会以2π为周期旋转。

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