剑指offer：约瑟夫环的问题

什么是约瑟夫环问题？

约瑟夫问题是个著名的问题：N个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报M的将被杀掉，下一个人接着从1开始报。如此反复，最后剩下一个，求最后的胜利者。
例如只有三个人，把他们叫做A、B、C，他们围成一圈，从A开始报数，假设报2的人被杀掉。

首先A开始报数，他报1。侥幸逃过一劫。
然后轮到B报数，他报2。非常惨，他被杀了
C接着从1开始报数
接着轮到A报数，他报2。也被杀死了。
最终胜利者是C

解决约瑟夫环问题，我们首先来分析一下！

1）普通解法

刚学数据结构的时候，我们可能用链表的方法去模拟这个过程，N个人看作是N个链表节点，节点1指向节点2，节点2指向节点3，……，节点N-1指向节点N，节点N指向节点1，这样就形成了一个环。然后从节点1开始1、2、3……往下报数，每报到M，就把那个节点从环上删除。下一个节点接着从1开始报数。最终链表仅剩一个节点。它就是最终的胜利者。

缺点：

要模拟整个游戏过程，时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。

2）公式法

约瑟夫环是一个经典的数学问题，我们不难发现这样的依次报数，似乎有规律可循。为了方便导出递推式，我们重新定义一下题目。
问题： N个人编号为1，2，……，N，依次报数，每报到M时，杀掉那个人，求最后胜利者的编号。

这边我们先把结论抛出了。之后带领大家一步一步的理解这个公式是什么来的。
递推公式：

f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N

f(N,M) f(N,M) 表示，N个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号
f(N−1,M) f(N−1,M) 表示，N-1个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号

下面我们不用字母表示每一个人，而用数字。

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11

表示11个人，他们先排成一排，假设每报到3的人被杀掉。

刚开始时，头一个人编号是1，从他开始报数，第一轮被杀掉的是编号3的人。
编号4的人从1开始重新报数，这时候我们可以认为编号4这个人是队伍的头。第二轮被杀掉的是编号6的人。
编号7的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号7这个人是队伍的头。第三轮被杀掉的是编号9的人。
……
第九轮时，编号2的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号2这个人是队伍的头。这轮被杀掉的是编号8的人。
下一个人还是编号为2的人，他从1开始报数，不幸的是他在这轮被杀掉了。
最后的胜利者是编号为7的人。

下图表示这一过程（先忽视绿色的一行）

现在再来看我们递推公式是怎么得到的！
将上面表格的每一行看成数组，这个公式描述的是：幸存者在这一轮的下标位置

f(1,3) f(1,3) ：只有1个人了，那个人就是获胜者，他的下标位置是0
f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1 f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1 ：在有2个人的时候，胜利者的下标位置为1
f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1 f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1 ：在有3个人的时候，胜利者的下标位置为1
f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0 f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0 ：在有4个人的时候，胜利者的下标位置为0
……
f(11,3)=6 f(11,3)=6

很神奇吧！现在你还怀疑这个公式的正确性吗？上面这个例子验证了这个递推公式的确可以计算出胜利者的下标，下面将讲解怎么推导这个公式。
问题1：假设我们已经知道11个人时，胜利者的下标位置为6。那下一轮10个人时，胜利者的下标位置为多少？
答：其实吧，第一轮删掉编号为3的人后，之后的人都往前面移动了3位，胜利这也往前移动了3位，所以他的下标位置由6变成3。

问题2：假设我们已经知道10个人时，胜利者的下标位置为3。那下一轮11个人时，胜利者的下标位置为多少？
答：这可以看错是上一个问题的逆过程，大家都往后移动3位，所以f(11,3)=f(10,3)+3 f(11,3)=f(10,3)+3 。不过有可能数组会越界，所以最后模上当前人数的个数，f(11,3)=（f(10,3)+3）%11 f(11,3)=（f(10,3)+3）%11

问题3：现在改为人数改为N，报到M时，把那个人杀掉，那么数组是怎么移动的？
答：每杀掉一个人，下一个人成为头，相当于把数组向前移动M位。若已知N-1个人时，胜利者的下标位置位f(N−1,M) f(N−1,M) ，则N个人的时候，就是往后移动M为，(因为有可能数组越界，超过的部分会被接到头上，所以还要模N)，既f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%n f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%n

注：理解这个递推式的核心在于关注胜利者的下标位置是怎么变的。每杀掉一个人，其实就是把这个数组向前移动了M位。然后逆过来，就可以得到这个递推式。

因为求出的结果是数组中的下标，最终的编号还要加1。

剑指offer题目：每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0...m-1报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？ (注：小朋友的编号是从0到n-1)

拿到这一题，对比上面的两种思路：

1）使用数组模仿一个环。

2）使用公式递归求解。

首先看第一种思路：

class Solution {
public:int LastRemaining_Solution(unsigned int n, unsigned int m){/*每轮被select的数被设置成-1；超出数组范围的，回到数组起点，模仿一个环；每次再次走到之前select的数的时候，就continue；*///if(n<1||m<1) return -1;int* array = new int[n];int i = -1, step = 0, count = n;while(count>0){i++;if(i>=n) i = 0;//模仿一个环if(array[i]==-1) continue;//每次再走到之前select的数时，就continue；step++;if(step == m){array[i] = -1; //每轮被select的数被设置成-1；step = 0;count--;}}return i;  //此题小朋友的编号是从0到n-1}
};

再看第二种思路：

class Solution {
public:int LastRemaining_Solution(unsigned int n, unsigned int m){if(n==0)return -1;if(n==1)return 0;elsereturn (LastRemaining_Solution(n-1,m)+m)%n;}
};

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