【LeetCode】剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字

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【LeetCode】剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字
一、动态规划
总结

一、动态规划

构建一个长度为 n 的链表，各结点值为对应的顺序索引。每轮删除第 m 个结点，直至链表长度为 1 时结束，返回最后剩余结点的值即可

模拟法需要循环删除 n - 1 轮，每轮在链表中寻找删除结点需要 m 次访问操作（链表线性遍历），因此总体时间复杂度为 O(n*m)。题目给定的 m，n 取值范围，可知此时间复杂度是不可接受的

实际上本题是著名的”约瑟夫环“问题，可用动态规划解决

输入 n，m，记此约瑟夫环问题为【n，m 问题】，设解（即最后留下的数字）为 f(n)，则有：

【n，m 问题】：数字环为 0，1，2，…，n - 1，解为 f(n)
【n - 1，m 问题】：数字环为 0，1，2，…，n - 2，解为 f(n - 1)
以此类推……

数字环是首尾相接的，为了方便行文，本文使用列表形式表示

对于【n，m 问题】，首轮删除环中第 m 个数字后，得到一个长度为 n - 1 的数字环。由于有可能 m > n，因此删除的数字为 (m - 1) % n，删除后的数字环从下个数字（即 m%n ）开始，设 t = m%n，可得数字环：

删除一轮后的数字环也变为一个【n - 1，m 问题】，观察以下数字编号对应关系：

设【n - 1，m问题】某数字为 x，则可得递推关系：

换而言之，若已知【n - 1，m 问题】的解 f(n - 1)，则可通过以上公式计算得到【n，m 问题】的解 f(n)，即：

以 n = 5，m = 3 的示例如下图所示

f(n) 可由 f(n-1) 得到，f(n-1) 可由 f(n-2) 得到，……，f(2) 可由 f(1) 得到。因此，若给定 f(1) 的值，就可以递推至任意 f(n)。而【1，m 问题】的解 f(1) = 0 恒成立，即无论 m 为何值，长度为 1 的数字环留下的数字一定是 0

动态规划解析：

状态定义：设【i，m 问题】的解为 dp[i]
转移方程：通过以下公式可从 dp[i - 1] 递推得到 dp[i]
初始状态：【1，m 问题】的解恒为 0，即为 dp[1] = 0
返回值：返回【n，m 问题】的解 dp[n]

下图为 n = 5，m = 3 时的状态转移和对应的模拟删除过程

class Solution {public int lastRemaining(int n, int m) {int x = 0;for(int i = 2; i <=n; i++) x = (x + m) % i;return x;}
}

时间复杂度 O(n)：状态转移循环 n - 1 次使用 O(n) 时间，状态转移方程计算使用 O(1) 时间
空间复杂度 O(1)：使用常数大小的额外空间

总结

动态规划还是比较难发现的，看题解之前我根本想不到这是个动态规划题。题解看起来很复杂，但其实难点只有如何求出状态转移方程式，动态规划的思想其实并不难理解，不要被绕进去