UA MATH574 概率论一个均匀分布的例题2018May/4

2024-06-14 09:10:31

UA MATH574 概率论均匀分布例题

2018May第四题。

Part a
Let Zi=−ln⁡UiZ_i =- \ln U_iZi=−lnUi,
P(Zi≤z)=P(−ln⁡Ui≤z)=P(Ui≥e−z)=1−FU(e−z)fZ(z)=e−z,z>0P(Z_i \le z) = P(-\ln U_i \le z) = P(U_i \ge e^{-z}) = 1 - F_U(e^{-z}) \\ f_Z(z) = e^{-z},z>0P(Zi≤z)=P(−lnUi≤z)=P(Ui≥e−z)=1−FU(e−z)fZ(z)=e−z,z>0

This means Zi∼EXP(1)=dΓ(1,1)Z_i \sim EXP(1) =_d \Gamma(1,1)Zi∼EXP(1)=dΓ(1,1). By additivity, ∑i=1nZi∼Γ(n,1)\sum_{i=1}^n Z_i \sim \Gamma(n,1)∑i=1nZi∼Γ(n,1). Note that Vn=e−∑i=1nZiV_n = e^{-\sum_{i=1}^n Z_i}Vn=e−∑i=1nZi,
P(Vn≤v)=P(e−∑i=1nZi≤v)=P(∑i=1nZi≥−ln⁡v)fVn(v)=1v(n−1)ln⁡(1/v)Γ(n)eln⁡v=−n−1Γ(n)ln⁡v,v∈(0,1)P(V_n \le v) = P(e^{-\sum_{i=1}^n Z_i} \le v) = P(\sum_{i=1}^n Z_i \ge -\ln v) \\ f_{V_n}(v) = \frac{1}{v} \frac{(n-1)\ln (1/v)}{\Gamma(n)}e^{\ln v} = -\frac{n-1}{\Gamma(n)}\ln v,v \in (0,1)P(Vn≤v)=P(e−∑i=1nZi≤v)=P(i=1∑nZi≥−lnv)fVn(v)=v1Γ(n)(n−1)ln(1/v)elnv=−Γ(n)n−1lnv,v∈(0,1)

Part b
Notice Ui/SnU_i/S_nUi/Sns should have the same distribution,
E[U1/Sn]=1nE[∑i=1nUi/Sn]=1nE[Sn/Sn]=1nE[U_1/S_n] = \frac{1}{n}E[\sum_{i=1}^n U_i/S_n] = \frac{1}{n}E[S_n/S_n] = \frac{1}{n}E[U1/Sn]=n1E[i=1∑nUi/Sn]=n1E[Sn/Sn]=n1

Part c
Define Y=ln⁡(Vn)−1/Sn=1Sn(−ln⁡Vn)=Zˉ/UˉY = \ln (V_n)^{-1/S_n} =\frac{1}{S_n}(-\ln V_n) =\bar{Z}/\bar{U}Y=ln(Vn)−1/Sn=Sn1(−lnVn)=Zˉ/Uˉ. By LLN, Uˉ→p1/2\bar{U} \to_p 1/2Uˉ→p1/2, Zˉ→p1\bar{Z} \to_p 1Zˉ→p1. By property of convergence in probability, Zˉ/Uˉ→p2\bar{Z}/\bar{U} \to_p 2Zˉ/Uˉ→p2 and (Vn)−1/Sn→pe2(V_n)^{-1/S_n} \to_p e^{2}(Vn)−1/Sn→pe2

Part d
1

UA MATH574 概率论一个均匀分布的例题2018May/4相关推荐

UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题3
UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题3 次序统计量常用公式答案次序统计量常用公式定理1(单个次序统计量的分布) FX(j)=∑k=jnCnk[F(x)]k[1−F(x)]n−kF_{ ...
UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题2
UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题2 次序统计量常用公式答案次序统计量常用公式定理1(单个次序统计量的分布) FX(j)=∑k=jnCnk[F(x)]k[1−F(x)]n−kF_{ ...
UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题1
UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题1 题目次序统计量常用公式答案题目例1 X1,⋯,Xn∼iidU(0,θ)X_1,\cdots,X_n \sim_{iid} U(0,\thet ...
UA MATH564 概率论依概率收敛的一个例题
UA MATH564 概率论依概率收敛的一个例题 Part (a) Let Yn∼U(−1/n,1/n)Y_n \sim U(-1/n,1/n)Yn∼U(−1/n,1/n), Zn∼U(n,n+1 ...
UA MATH523A 实分析3 积分理论例题证明函数列L1收敛的一个题目
UA MATH523A 实分析3 积分理论例题证明函数列L1收敛的一个题目例假设fnf_nfn在[0,1][0,1][0,1]上绝对连续,fn(0)=0,∀n≥1f_n(0)=0,\foral ...
UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 Fubini定理计算简单二重积分的一个例题
UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 Fubini定理计算简单二重积分的一个例题例 f∈L1([0,1])f \in L^1([0,1])f∈L1([0,1]), define h(x)= ...
UA MATH523A 实分析3 积分理论例题判断函数可积性的一个题目
UA MATH523A 实分析3 积分理论例题判断函数可积性的一个题目例 (X,M,μ)(X,\mathcal{M},\mu)(X,M,μ)是一个测度空间,fff是定义在(X,M,μ)(X,\ma ...
UA MATH523A 实分析3 积分理论例题一个测度与积分的综合计算题
UA MATH523A 实分析3 积分理论例题一个测度与积分的综合计算题例 EnE_nEn是一列[0,1][0,1][0,1]上的Lebesgue可测集,∃k∈[0,1]\exists k \i ...
UA MATH564 概率论计算至少有一个发生的概率：容斥原理与庞加莱公式
UA MATH564 概率论计算至少有一个发生的概率:容斥原理与庞加莱公式事件的并的Poincare公式事件的交的Poincare公式上一讲介绍了P(⋃i=1nAi)P(\bigcup_{i= ...

最新文章

热门文章