UA MATH574 概率论 均匀分布例题

2018May第四题。

Part a
Let Zi=−ln⁡UiZ_i =- \ln U_iZi​=−lnUi​,
P(Zi≤z)=P(−ln⁡Ui≤z)=P(Ui≥e−z)=1−FU(e−z)fZ(z)=e−z,z>0P(Z_i \le z) = P(-\ln U_i \le z) = P(U_i \ge e^{-z}) = 1 - F_U(e^{-z}) \\ f_Z(z) = e^{-z},z>0P(Zi​≤z)=P(−lnUi​≤z)=P(Ui​≥e−z)=1−FU​(e−z)fZ​(z)=e−z,z>0

This means Zi∼EXP(1)=dΓ(1,1)Z_i \sim EXP(1) =_d \Gamma(1,1)Zi​∼EXP(1)=d​Γ(1,1). By additivity, ∑i=1nZi∼Γ(n,1)\sum_{i=1}^n Z_i \sim \Gamma(n,1)∑i=1n​Zi​∼Γ(n,1). Note that Vn=e−∑i=1nZiV_n = e^{-\sum_{i=1}^n Z_i}Vn​=e−∑i=1n​Zi​,
P(Vn≤v)=P(e−∑i=1nZi≤v)=P(∑i=1nZi≥−ln⁡v)fVn(v)=1v(n−1)ln⁡(1/v)Γ(n)eln⁡v=−n−1Γ(n)ln⁡v,v∈(0,1)P(V_n \le v) = P(e^{-\sum_{i=1}^n Z_i} \le v) = P(\sum_{i=1}^n Z_i \ge -\ln v) \\ f_{V_n}(v) = \frac{1}{v} \frac{(n-1)\ln (1/v)}{\Gamma(n)}e^{\ln v} = -\frac{n-1}{\Gamma(n)}\ln v,v \in (0,1)P(Vn​≤v)=P(e−∑i=1n​Zi​≤v)=P(i=1∑n​Zi​≥−lnv)fVn​​(v)=v1​Γ(n)(n−1)ln(1/v)​elnv=−Γ(n)n−1​lnv,v∈(0,1)

Part b
Notice Ui/SnU_i/S_nUi​/Sn​s should have the same distribution,
E[U1/Sn]=1nE[∑i=1nUi/Sn]=1nE[Sn/Sn]=1nE[U_1/S_n] = \frac{1}{n}E[\sum_{i=1}^n U_i/S_n] = \frac{1}{n}E[S_n/S_n] = \frac{1}{n}E[U1​/Sn​]=n1​E[i=1∑n​Ui​/Sn​]=n1​E[Sn​/Sn​]=n1​

Part c
Define Y=ln⁡(Vn)−1/Sn=1Sn(−ln⁡Vn)=Zˉ/UˉY = \ln (V_n)^{-1/S_n} =\frac{1}{S_n}(-\ln V_n) =\bar{Z}/\bar{U}Y=ln(Vn​)−1/Sn​=Sn​1​(−lnVn​)=Zˉ/Uˉ. By LLN, Uˉ→p1/2\bar{U} \to_p 1/2Uˉ→p​1/2, Zˉ→p1\bar{Z} \to_p 1Zˉ→p​1. By property of convergence in probability, Zˉ/Uˉ→p2\bar{Z}/\bar{U} \to_p 2Zˉ/Uˉ→p​2 and (Vn)−1/Sn→pe2(V_n)^{-1/S_n} \to_p e^{2}(Vn​)−1/Sn​→p​e2

Part d
1

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