次序统计量常用公式

定理1（单个次序统计量的分布）
FX(j)=∑k=jnCnk[F(x)]k[1−F(x)]n−kF_{X_{(j)}} = \sum_{k=j}^n C_n^k [F(x)]^k[1-F(x)]^{n-k}FX(j)=k=j∑nCnk[F(x)]k[1−F(x)]n−k
定理2（单个次序统计量的概率密度）
fX(j)(x)=jCnj[F(x)]j−1[1−F(x)]n−jf(x)f_{X_{(j)}}(x) = jC_n^j [F(x)]^{j-1}[1-F(x)]^{n-j}f(x)fX(j)(x)=jCnj[F(x)]j−1[1−F(x)]n−jf(x)
定理3（两个次序统计量的联合概率密度）不妨假设j>ij>ij>i，则
fX(i),X(j)(xi,xj)=n!(i−1)!(j−i−1)!(n−j)!f(xi)f(xj)[F(xi)]i−1[F(xj)−F(xi)]j−i−1[1−F(xj)]n−jf_{X_{(i)},X_{(j)}}(x_i,x_j)=\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}f(x_{i})f(x_{j})[F(x_i)]^{i-1}[F(x_j)-F(x_i)]^{j-i-1}[1-F(x_j)]^{n-j}fX(i),X(j)(xi,xj)=(i−1)!(j−i−1)!(n−j)!n!f(xi)f(xj)[F(xi)]i−1[F(xj)−F(xi)]j−i−1[1−F(xj)]n−j

答案

例2 如果X1,⋯,XnX_1,\cdots,X_nX1,⋯,Xn的分布是
f(x)=aθaxa−1,x∈(0,θ)f(x) = \frac{a}{\theta^a}x^{a-1},x \in (0,\theta)f(x)=θaaxa−1,x∈(0,θ)
证明X(1)/X(2),⋯,X(n−1)/X(n),X(n)X_{(1)}/X_{(2)},\cdots,X_{(n-1)}/X_{(n)},X_{(n)}X(1)/X(2),⋯,X(n−1)/X(n),X(n)互相独立，并计算他们的分布。

这道题可以看成是例1的推广，在做题之前先引入一个新的定理。

定理4（所有次序统计量的联合概率密度）
f(x(1),⋯,x(n))=n!f(x1)f(x2)⋯f(xn)f(x_{(1)},\cdots,x_{(n)})=n!f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)f(x(1),⋯,x(n))=n!f(x1)f(x2)⋯f(xn)
证明用定理3证明的思路，考虑下面的微元，
f(x(1),⋯,x(n))(Δx)n=P(x1≤X(1)<x1+Δx,⋯,xn≤X(n)<xn+Δx)f(x_{(1)},\cdots,x_{(n)}) (\Delta x)^n = P(x_1 \le X_{(1)} < x_1 + \Delta x,\cdots, x_n\le X_{(n)} < x_n + \Delta x)f(x(1),⋯,x(n))(Δx)n=P(x1≤X(1)<x1+Δx,⋯,xn≤X(n)<xn+Δx)
其中x1<x2<⋯<xnx_1 < x_2 < \dots < x_nx1<x2<⋯<xn，Δx≤inf⁡(xi−xi−1)\Delta x \le \inf(x_i - x_{i-1})Δx≤inf(xi−xi−1)，这个概率可以分为nnn个部分来计算，首先从nnn个样本中选出一个位于[x1,x1+Δx)[x_1,x_1 + \Delta x)[x1,x1+Δx)中；然后从剩余的n−1n-1n−1个样本中选出一个位于[x2,x2+Δx)[x_2,x_2 + \Delta x)[x2,x2+Δx)中，再重复n−3n-3n−3次，直到剩下最后一个样本位于[xn,xn+Δx)[x_n,x_n+\Delta x)[xn,xn+Δx)中。
第一部分的概率是Cn1f(x1)ΔxC_n^1f(x_1)\Delta xCn1f(x1)Δx，第二部分的概率是Cn−11f(x2)ΔxC_{n-1}^1 f(x_2)\Delta xCn−11f(x2)Δx，⋯\cdots⋯，最后一部分的概率是C11f(xn)ΔxC_1^1 f(x_n)\Delta xC11f(xn)Δx；将这nnn部分概率相乘：
f(x(1),⋯,x(n))(Δx)n=n!f(x1)f(x2)⋯f(xn)(Δx)nf(x_{(1)},\cdots,x_{(n)}) (\Delta x)^n = n!f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)(\Delta x)^nf(x(1),⋯,x(n))(Δx)n=n!f(x1)f(x2)⋯f(xn)(Δx)n
约掉微元(Δx)n(\Delta x)^n(Δx)n即可。
证毕

对于例2，根据定理4可得，X(1),⋯,X(n)X_{(1)},\cdots,X_{(n)}X(1),⋯,X(n)的联合概率密度为
f(x(1),⋯,x(n))=n![f(x)]n=n!anθanx1a−1⋯xna−1f(x_{(1)},\cdots,x_{(n)})=n! [f(x)]^n = \frac{n!a^n}{\theta^{an}}x_1^{a-1}\cdots x_n^{a-1}f(x(1),⋯,x(n))=n![f(x)]n=θann!anx1a−1⋯xna−1

接下来定义Yk=X(k)/X(k+1),k=1,⋯,n−1,Yn=X(n)Y_k = X_{(k)}/X_{(k+1)},k=1,\cdots,n-1,Y_n = X_{(n)}Yk=X(k)/X(k+1),k=1,⋯,n−1,Yn=X(n)，则
X(n)=Yn,X(k)=X(k+1)Yk,k=1,2,⋯,n−1X_{(n)} = Y_n,X_{(k)} = X_{(k+1)}Y_k,k=1,2,\cdots,n-1X(n)=Yn,X(k)=X(k+1)Yk,k=1,2,⋯,n−1
计算Jacobi行列式，记Y−k=∏i≠kYi,Y−kj∏i≠k,jYiY_{-k} = \prod_{i \ne k} Y_i,Y_{-kj}\prod_{i \ne k,j} Y_iY−k=∏i=kYi,Y−kj∏i=k,jYi以此类推
J(Y1,⋯,Yn)=∣∂(X(1),⋯,X(n))∂(Y1,⋯,Yn)∣=∣Y−10⋯0Y−2Y−12⋯0⋯⋯⋯⋯Y−nY−2n⋯1∣=Y−1Y−12⋯Y−123⋯n−1=∏i≠1Yi∏i≠1,2Yi⋯Yn=Y2Y32⋯Ynn−1J(Y_1,\cdots,Y_n) = \left| \frac{\partial(X_{(1)},\cdots,X_{(n)})}{\partial(Y_{1},\cdots,Y_{n})} \right| \\ = \left| \begin{matrix} Y_{-1} & 0& \cdots &0 \\ Y_{-2} & Y_{-12} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ Y_{-n} & Y_{-2n} & \cdots & 1 \\ \end{matrix} \right| = Y_{-1}Y_{-12}\cdots Y_{-123\cdots n-1} \\ = \prod_{i \ne 1} Y_i \prod_{i \ne 1,2} Y_i \cdots Y_n = Y_2Y_3^2 \cdots Y_n^{n-1}J(Y1,⋯,Yn)=∣∣∣∣∂(Y1,⋯,Yn)∂(X(1),⋯,X(n))∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣Y−1Y−2⋯Y−n0Y−12⋯Y−2n⋯⋯⋯⋯00⋯1∣∣∣∣∣∣∣∣=Y−1Y−12⋯Y−123⋯n−1=i=1∏Yii=1,2∏Yi⋯Yn=Y2Y32⋯Ynn−1
这个行列式是一个下三角行列式，因此这个行列式等于主对角线元素的乘积。因此Y1,⋯,YnY_1,\cdots,Y_nY1,⋯,Yn的联合概率密度为
f(y1,⋯,yn)=J(y1,⋯,yn)f(y1⋯yn,y2⋯yn,⋯,yn)=y2y32⋯ynn−1n!anθan(y1⋯yn,y2⋯yn)a−1⋯yna−1=n!anθany1a−1y22a−1⋯ynna−1f(y_1,\cdots,y_n) = J(y_1,\cdots,y_n)f(y_1\cdots y_n,y_2 \cdots y_n, \cdots,y_n) \\ = y_2y_3^2 \cdots y_n^{n-1} \frac{n!a^n}{\theta^{an}}(y_1\cdots y_n,y_2 \cdots y_n)^{a-1}\cdots y_n^{a-1} \\ = \frac{n!a^n}{\theta^{an}}y_1^{a-1}y_2^{2a-1}\cdots y_n^{na-1}f(y1,⋯,yn)=J(y1,⋯,yn)f(y1⋯yn,y2⋯yn,⋯,yn)=y2y32⋯ynn−1θann!an(y1⋯yn,y2⋯yn)a−1⋯yna−1=θann!any1a−1y22a−1⋯ynna−1
将上一讲的引理1推广到nnn个随机变量的情形可知Y1,⋯,YnY_1,\cdots,Y_nY1,⋯,Yn互相独立。

引理2 X1,⋯,Xn∼f(x1,⋯,xn)X_1,\cdots,X_n \sim f(x_1,\cdots,x_n)X1,⋯,Xn∼f(x1,⋯,xn)，∃f(x1,⋯,xn)=h1(x1)⋯hn(xn)\exists f(x_1,\cdots,x_n)=h_1(x_1)\cdots h_n(x_n)∃f(x1,⋯,xn)=h1(x1)⋯hn(xn)，则X1,⋯,XnX_1,\cdots,X_nX1,⋯,Xn互相独立。
证明
f(xi)=(∫−∞+∞)n−1f(x1,⋯,xn)∏j≠idxj=h(xi)(∫−∞+∞)n−1∏j≠ih(xj)dxj∏i=1nf(xi)=∏i=1nh(xi)(∫−∞+∞)n−1∏j≠ih(xj)dxj=f(x1,⋯,xn)∏i=1n(∫−∞+∞)n−1∏j≠ih(xj)dxj=Fubinif(x1,⋯,xn)(∫−∞+∞)n∏h(xj)dxj=f(x1,⋯,xn)f(x_i) = \left( \int_{-\infty}^{+\infty} \right)^{n-1} f(x_1,\cdots,x_n) \prod_{j \ne i} dx_j = h(x_i)\left( \int_{-\infty}^{+\infty} \right)^{n-1} \prod_{j \ne i} h(x_j)dx_j\\ \prod_{i=1}^n f(x_i) = \prod_{i=1}^n h(x_i)\left( \int_{-\infty}^{+\infty} \right)^{n-1} \prod_{j \ne i} h(x_j)dx_j \\ = f(x_1,\cdots,x_n) \prod_{i=1}^n \left( \int_{-\infty}^{+\infty} \right)^{n-1} \prod_{j \ne i} h(x_j)dx_j \\ =_{Fubini} f(x_1,\cdots,x_n) \left( \int_{-\infty}^{+\infty} \right)^{n} \prod h(x_j)dx_j = f(x_1,\cdots,x_n)f(xi)=(∫−∞+∞)n−1f(x1,⋯,xn)j=i∏dxj=h(xi)(∫−∞+∞)n−1j=i∏h(xj)dxji=1∏nf(xi)=i=1∏nh(xi)(∫−∞+∞)n−1j=i∏h(xj)dxj=f(x1,⋯,xn)i=1∏n(∫−∞+∞)n−1j=i∏h(xj)dxj=Fubinif(x1,⋯,xn)(∫−∞+∞)n∏h(xj)dxj=f(x1,⋯,xn)

UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题2相关推荐

UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题3
UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题3 次序统计量常用公式答案次序统计量常用公式定理1(单个次序统计量的分布) FX(j)=∑k=jnCnk[F(x)]k[1−F(x)]n−kF_{ ...
UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题1
UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题1 题目次序统计量常用公式答案题目例1 X1,⋯,Xn∼iidU(0,θ)X_1,\cdots,X_n \sim_{iid} U(0,\thet ...
UA MATH564 概率论IV 次序统计量
UA MATH564 概率论IV 次序统计量次序统计量的分布例子例1:均匀分布的次序统计量例2:Dirichlet分布次序统计量的分布次序统计量的作用是比较大的,经常可以作为某些分布的充分 ...
UA MATH564 概率论依概率收敛的一个例题
UA MATH564 概率论依概率收敛的一个例题 Part (a) Let Yn∼U(−1/n,1/n)Y_n \sim U(-1/n,1/n)Yn∼U(−1/n,1/n), Zn∼U(n,n+1 ...
UA MATH564 概率论 Dirichlet分布
UA MATH564 概率论 Dirichlet分布在UA MATH564 概率论IV 次序统计量中,我们介绍了均匀分布U(0,1)U(0,1)U(0,1)的多个次序统计量的联合分布就是Dirich ...
UA MATH564 概率论依概率收敛的题目
UA MATH564 概率论依概率收敛的一个例题 X1,X2,⋯,Xn∼iida+EXP(λ)X_1,X_2,\cdots,X_n \sim_{iid} a+EXP(\lambda)X1,X2, ...
UA MATH564 概率论多元随机变量的变换理论与应用2
UA MATH564 概率论多元随机变量的变换几个例题例5 X1,X2,X3∼iidEXP(λ)X_1,X_2,X_3 \sim_{iid} EXP(\lambda)X1,X2,X3∼ii ...
UA MATH564 概率论VI 数理统计基础3 卡方分布上
UA MATH564 概率论VI 数理统计基础3 卡方分布上卡方分布卡方分布的分布函数中心化卡方分布一般的卡方分布卡方分布这里给出卡方分布的一般性定义.假设X1,⋯,XnX_1,\cdot ...
UA MATH564 概率论VI 数理统计基础2 多元正态分布
UA MATH564 概率论VI 数理统计基础2 多元正态分布矩母函数概率密度多元正态分布的矩条件分布独立性抽样分布简单地说就是统计量服从的分布,正态分布时最常用的总体分布,因此研究正态总 ...

UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题2

UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题2

次序统计量常用公式

答案

UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题2相关推荐

最新文章

热门文章