1全概率的前置概念

弄清楚全概率，全概率公式之前，需要先搞明白条件概率和联合概率的概念。

1.1 联合概率，joint probability

两个事件同时发生的概率

也可以称为相交概率？
P(AB)
两个事件同时发生的概率
P(AB) = P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = P(B)P(A | B) = P(A)P(B | A)

1.2 条件概率， Conditional probability

在其他事件已经发生之后，此事件发生的概率。

条件概率
P(B | A) =P(AB) / P(A)
条件概率等于，两者同时发生概率/ 先发生事件的概率

1.3 全概率

一般来说，没有这个概率吧
全概率=概率=1个完整的概率而已
这个概率一般是 [0,1] ，一般来说都是小于1的

1.4 有人说, 全概率 =1? NO!

全概率=1？ NO
全概率只是某一个事件的全部概率，并不是全部概率空间！！！
所以全概率公式，只是用来计算某一个概率的公式，不存在全概率必须=1这么无厘头的问题

2 全概率公式

2.1 定义

百度的定义：
若事件A1，A2，…构成一个完备事件组且都有正概率，则对任意一个事件B，有如下公式成立：
就是联合概率之和
P(B)=P(BA1)+P(BA2)+...+P(BAn)
也是条件概率*条件发生概率之和
P(B) =P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + ... + P(B|An)P(An)=P(BA1)+P(BA2)+...+P(BAn)
此公式即为全概率公式。

如果这个空间划分完备空间的事件，刚好是两个对立事件。
P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A')P(A')
其中A A'是一个空间的完整划分

2.2 重点1：全概率公式里，几个划分事件必须组成一个完备空间S，并且互斥不相交

全概率公式里

几个划分事件必须组成一个完备空间S的全划分（完整划分）
既然a1--an是一个空间的完整花费，这些概率之和为1
并且互斥不相交

2.2.1 为什么必须互斥不相交

见下图
图1，A和A- 不相交
图2，A和A- 相交，相交部分是两个正方形的红 & 黄生成的橙色部分
如果空间划分的事件，A,A-，有重合/相交的部分，那么 P(A ∩B) 和 P(B ∩A') 就会有重合的部分，如图中椭圆里抠出来的竖条橙色的部分，会被计算2次，所以P(B) < P(AB) + P(BA') ，因此得到反证。

2.2.2 为什么必须是能组成完备的一个全划分呢（完整划分）？

很显然，如上图
P(B)=P(AB) + P(BA')
显然，
P(B) <>! P(AB)
P(B) <>!P(BA')

2.3 全概率公式

某一个事件概率 = 这个事件*其他完备事件划分联合概率之和

对 P(B)=P(AB) + P(BA')
错 P(B)=P(A) + P(A')

某一个事件概率=条件概率*条件发生概率之和

对 P(B)=P(A) *P(B|A) + P(A')*P(B|A')
对 P(B)=P(A) *P(B|A) + P(A')*P(B|A') + P(A'')*P(B|A'')

下图是网图，可以借助理解

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1.3 全概率

1.4 有人说, 全概率 =1? NO!

2 全概率公式

2.1 定义

2.2 重点1：全概率公式里，几个划分事件必须组成一个完备空间S，并且互斥不相交

2.2.1 为什么必须互斥不相交

2.2.2 为什么必须是能组成完备的一个全划分呢（完整划分）？

2.3 全概率公式

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