ACM竞赛学习整理--矩阵运算

ACM竞赛学习整理–矩阵运算

了解矩阵类

【任务】

实现矩阵的基本变换

【接口】

结构体：Matrix

成员变量：

int n,m 矩阵大小

int a[][] 矩阵内容

重载运算符： +、-、x

成员函数：void clear() 清空矩阵

【代码】

const int MAXN = 1010;
const int MAXM = 1010;struct Matrix{int n,m;int a[MAXN][MAXM];void clear(){n=m=0;memset(a,0,sizeof(a));}
}Matrix operator +(const Matrix &b) const{Matrix tmp;tmp.n = n;tmp.m = m;for(int i = 0;i<n;++i)for(int j=0;j<m;++j)tmp.a[i][j] = a[i][j] + b.a[i][j];return tmp;
}Matrix operator -(const Matrix &b) const{Matrix tmp;tmp.n = n;tmp.m = m;for(int i = 0;i<n;++i)for(int j=0;j<m;++j)tmp.a[i][j] = a[i][j] - b.a[i][j];return tmp;
}Matrix operator *(const Matrix &b) const{Matrix tmp;tmp.clear();tmp.n = n;tmp.m =b.m;for(int i = 0;i<n;++i)for(int j=0;j<b.m;++j)for(int k=0;k<m;++k)tmp.a[i][j] += a[i][k] * b.a[k][j];return tmp;
}

【扩展】

关于矩阵加速数列递推：

给定一个递推数列

f[i]=a1∗f[i−1]+a2∗f[i−2]…ak∗f[i−k] ，

我们普通计算的话肯定是逐个计算，复杂度较大。

我们可以用矩阵表示：

为了递推出f[n] , 我们需要找到一个系数矩阵 A 使得：

就可以这样计算：

A矩阵可以这样构造：

至此，我们可以愉快地用矩阵加速递推数列了。

参考来源：https://www.cnblogs.com/alecli/p/10004417.html

【应用】

poj 2663详解

Description
In how many ways can you tile a 3xn rectangle with 2x1 dominoes?
Here is a sample tiling of a 3x12 rectangle.

Input
Input consists of several test cases followed by a line containing -1. Each test case is a line containing an integer 0 <= n <= 30.

Output
For each test case, output one integer number giving the number of possible tilings.

Sample Input
2
8
12
-1

Sample Output
3
153
2131

分析题目，这是一个递推关系求解题，并且很容易发现当n为奇数时，无法找到满足题意的铺法，以下仅考虑n为偶数的情况。

思路：
这里先定义两个概念：独立单位和非独立单位。独立单位即不可纵向切割的矩形块，非独立单位即可纵向切割的矩形块。

我们先来试试几种简单情况。当n = 2时，有3种铺法,如下图。

当n=4时。组合分为两种情况：一种是两个n=2的独立单位组合，另一种是一个n=0的独立单位组合上一个n=4的独立单位。分别如下图。

两个n=2的独立单位组合，比较简单，铺法为3x3。一个n=0的独立单位组合上一个n=4的独立单位，通过画图可以判断，只有两种情况，分别为：

那么n=4的总铺法数就容易确定了，为 3xa[2]+2xa[0] (这里a[0]=1,至于为什么等于1，请读者自己体会)

接下来考虑n= 6，这时有三种组合情况，分别为：

一个n=4的独立单位连接上一个n=2的独立单位；
一个n=2的独立单位连接上一个n=4的独立单位；
一个n=0的独立单位连接上一个n=6的独立单位。
组合1：铺法为a[4]x3;
组合2：铺法为a[2]x2;
组合3：铺法为a[0]x2;
故n=6时的总铺法数为：a[4]x3+a[2]x2+a[0]x2。
（有人可能会问为什么要乘以2，这里请读者自行画图求解…）

当n更大时，以此类推。
所以最后我们得出a[n] = 3xa[n-2]+2x(a[n-4]+a[n-6] +…+a[0]),再运用高中所学数列知识，化简得：a[n] = 4a[n-2] - a[n-4];
代码整理如下：

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
const int MAXN=10;
const int MAXM=10;const long long mod = 1000007;
int r;
//矩阵类模板
struct Matrix{int n,m;int a[MAXN][MAXM];void clear(){n=m=0;memset(a,0,sizeof(a));}Matrix operator +(const Matrix &b) const {Matrix tmp;tmp.n=n;tmp.m=m;for (int i=0;i<n;++i)for(int j=0;j<m;++j)tmp.a[i][j]=a[i][j]+b.a[i][j];return tmp;}Matrix operator -(const Matrix &b)const{Matrix tmp;tmp.n=n;tmp.m=m;for (int i=0;i<n;++i)for(int j=0;j<m;++j)tmp.a[i][j]=a[i][j]-b.a[i][j];return tmp;}Matrix operator * (const Matrix &b) const{Matrix tmp;tmp.clear();tmp.n=n;tmp.m=b.m;for (int i=0;i<n;++i)for(int j=0;j<b.m;++j)for (int k=0;k<m;++k){tmp.a[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j];tmp.a[i][j]%=mod;}return tmp;}Matrix get(int x){//幂运算Matrix E;E.clear();E.n=E.m=n;for(int i=0;i<n;++i)E.a[i][i]=1;if(x==0) return E;else if(x==1) return *this;Matrix tmp=get(x/2);tmp=tmp*tmp;if(x%2) tmp=tmp*(*this);return tmp;}
};
//矩阵模板结束int main(){while(cin>>r){if(r==0) break;int a[]= {1,0,3,0};if(r<=3){cout<<a[r]%mod<<endl;continue;}Matrix A;A.clear();A.n=A.m=4;A.a[0][1]=A.a[1][2]=A.a[2][3]=1;A.a[3][0]=-1;//A.a[3][1]=1;A.a[3][2]=4;//A.a[3][3]=1;A=A.get(r-3);Matrix M;M.clear();M.n=4;M.m=1;M.a[0][0]=1;M.a[2][0]=3;M.a[3][0]=0;M=A*M;cout<<(M.a[3][0]+mod)%mod<<endl;}return 0;
}

ps: ACM国际大学生程序设计与竞赛-算法基础（俞勇主编）里有介绍矩阵的实现，刚好手上有个项目要用到矩阵的操作，一开始想用Eigen 库来实现矩阵的操作，后来想想干脆还是C去实现吧。下午空闲一会了，找了一个ACM的例题来做做。于是就拙了一篇，请大家多指正。