信号处理--傅里叶变换的性质及常用信号的傅里叶变换
一、前言
傅里叶变换的定义式
函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内f(t)绝对可积,但它并非必要条件。
当引入广义函数的概念后,许多不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换,这给信号与系统分析带来很大方便。
二、傅里叶变换的性质
三、奇异函数的傅里叶变换
1、冲激函数的频谱
方法一:根据傅里叶变换的定义式,并且考虑到冲激函数的取样性质,得
其频谱密度在-∞<w<∞区间处处相等,常称为“均匀谱”或“白色频谱”。
方法二:应用广义极限的概念,单位冲激函数δ(t)是幅度为1/τ,脉宽为τ的矩形脉冲当τ→0的广义极限,因而可以写为
门函数的傅里叶变换
因而
所以
2、冲激函数导数的频谱
冲激函数导数定义式为
其中φ(t)为检验函数,φ(t)是急降的。
按广义函数理论,由于选取了性能良好的检验函数空间 Φ,广义函数的各阶导数都存在并且仍属于缓增广义函数空间 Φ’。
根据定义,冲激函数的一阶导数δ’(t)的频谱函数为
即δ’(t)的频谱函数为
3、单位直流信号的频谱
幅度等于1的直流信号可表示为 f(t)=1, -∞ < t < ∞
显然,该信号不满足绝对可积条件,但其傅里叶变换却存在。
根据傅里叶变换的性质(对称性),可得
4、符号函数的频谱
符号函数记作sgn(t),它的定义为
显然,该函数也不满足绝对可积条件。
函数sgn(t)可看作是
当α趋于0时的极限,因此其频谱函数也是f1(t)的频谱函数F1(jw) 当α趋于0时的极限。
它是ω的奇函数,在ω=0处F1(0)=0,因此当α趋近于零时,有
于是得
5、阶跃函数的频谱
单位阶跃函数u(t)也不满足绝对可积条件。它可看作是幅度为½的直流信号与幅度为½的符号函数之和,即
对上式两边进行傅里叶变换,得
四、常用信号的傅里叶变换表
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