矩阵论（补充知识）：特征多项式的展开式

国内线性代数教材上关于n阶矩阵AAA的特征多项式的系数只讲了常数项、n-1次项和n次项的，分别为(−1)ndet(A),−tr(A),1(-1)^ndet(A),-tr(A),1(−1)ndet(A),−tr(A),1。一直很好奇其他项的系数是什么样的。查资料知有如下定理：

定理：设A∈Cn×nA\in C^{n\times n}A∈Cn×n，则AAA的特征多项式det(λI−A)=λn+a1λn−1+a2λn−2+...+an−1λ+andet(\lambda I-A)=\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+a_2\lambda^{n-2}+...+a_{n-1}\lambda+a_ndet(λI−A)=λn+a1λn−1+a2λn−2+...+an−1λ+an，其中n−kn-kn−k次项的系数ak=(−1)kpka_k=(-1)^kp_kak=(−1)kpk，pkp_kpk为AAA的全部kkk阶主子式之和

其中，主子式的定义如下：

定义：主子式：设A=(aij)n×nA=(a_{ij})_{n\times n}A=(aij)n×n，1⩽i1<i2<⋯<ik⩽n1\leqslant i_1\lt i_2\lt \cdots \lt i_k\leqslant n1⩽i1<i2<⋯<ik⩽n，称A(i1i2⋯iki1i2⋯ik)=[ai1i1ai1i2⋯ai1ikai2i1ai2i2⋯ai2ik⋯⋯⋯⋯aiki1aiki2⋯aikik]A\begin{pmatrix}i_1&i_2&\cdots&i_k\\i_1&i_2&\cdots&i_k\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}a_{i_1i_1}&a_{i_1i_2}&\cdots&a_{i_1i_k}\\a_{i_2i_1}&a_{i_2i_2}&\cdots&a_{i_2i_k}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{i_ki_1}&a_{i_ki_2}&\cdots&a_{i_ki_k}\end{bmatrix}A(i1i1i2i2⋯⋯ikik)=⎣⎢⎢⎡ai1i1ai2i1⋯aiki1ai1i2ai2i2⋯aiki2⋯⋯⋯⋯ai1ikai2ik⋯aikik⎦⎥⎥⎤为A的一个k阶主子矩阵，其行列式为A的k阶主子式
【注】主子式的一个重要特点是取AAA中的哪几行，就得对应地取AAA中的哪几列，这样行列相交处的元素取出来才是一个主子式。例如AAA的一阶主子式有n个，均为AAA的主对角线上的元素，AAA的nnn阶主子式只有1个，为det(A)det(A)det(A)。

知道这个定理，应用是没问题的，但要知道怎么证，就有点麻烦了。用google搜了半天，没找到一个既正确又容易看懂的证明，最后没想到用百度搜到了几个国内学者的证明，比较简明易懂。下面用两种方法证明该定理。

（这里补充一个显而易见的推论）

推论：设A∈Cn×nA\in C^{n\times n}A∈Cn×n，则det(λI+A)=λn+p1λn−1+p2λn−2+...+pn−1λ+pndet(\lambda I+A)=\lambda^n+p_1\lambda^{n-1}+p_2\lambda^{n-2}+...+p_{n-1}\lambda+p_ndet(λI+A)=λn+p1λn−1+p2λn−2+...+pn−1λ+pn，其中n−kn-kn−k次项的系数pkp_kpk为AAA的全部kkk阶主子式之和
证明：
由上述定理可得，det(λI+A)=det(λI−(−A))=λn+a1λn−1+a2λn−2+...+an−1λ+an=λn+(−1)1(−1)1p1λn−1+(−1)2(−1)2p2λn−2+...+(−1)n−1(−1)n−1pn−1λ+an=λn+p1λn−1+p2λn−2+...+pn−1λ+pn\begin{aligned}det(\lambda I +A)&=det(\lambda I-(-A))\\&=\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+a_2\lambda^{n-2}+...+a_{n-1}\lambda+a_n\\&=\lambda^n+(-1)^1(-1)^1p_1\lambda^{n-1}+(-1)^2(-1)^2p_2\lambda^{n-2}+...+(-1)^{n-1}(-1)^{n-1}p_{n-1}\lambda+a_n\\&=\lambda^n+p_1\lambda^{n-1}+p_2\lambda^{n-2}+...+p_{n-1}\lambda+p_n\end{aligned}det(λI+A)=det(λI−(−A))=λn+a1λn−1+a2λn−2+...+an−1λ+an=λn+(−1)1(−1)1p1λn−1+(−1)2(−1)2p2λn−2+...+(−1)n−1(−1)n−1pn−1λ+an=λn+p1λn−1+p2λn−2+...+pn−1λ+pn其中，aka_kak为−A-A−A的全部kkk阶主子式之和的(−1)k(-1)^k(−1)k倍。

方法1

定义：设A∈Cn×nA\in C^{n\times n}A∈Cn×n，固定−A-A−A的某kkk列元素不动，其他列上对角线位置元素填λ\lambdaλ，非对角线位置元素填000，这样得到的矩阵的行列式称为AAA的一个n−kn-kn−k列正规代换式。
例：图中是AAA的一个222列正规代换式，其中−A-A−A的第2列和第nnn列被代换了，而其他列均不变。

接下来我们通过行列式暴力展开的方式（差不多就是暴力展开吧）来证明定理：
首先，为了方便，我们将AAA的全部kkk阶主子式按照任意指定的一种顺序排列。设AAA的kkk阶主子式有N(k)N(k)N(k)个，显然N(k)=CnkN(k)=C_n^kN(k)=Cnk，将它们记为M(k,1),M(k,2),...,M(k,N(k))M(k,1),M(k,2),...,M(k,N(k))M(k,1),M(k,2),...,M(k,N(k))。接下来，我们将AAA的n−kn-kn−k列正规代换式与AAA的kkk阶主子式对应起来，对应方式为：设AAA的某n−kn-kn−k列正规代换式是将−A-A−A的第i1<i2<...<iki_1<i_2<...<i_ki1<i2<...<ik列保持不变，而将其余列进行代换得到的，那么该正规代换式对应的主子式为A(i1i2⋯iki1i2⋯ik)A\begin{pmatrix}i_1&i_2&\cdots&i_k\\i_1&i_2&\cdots&i_k\end{pmatrix}A(i1i1i2i2⋯⋯ikik)即取AAA的第i1<i2<...<iki_1<i_2<...<i_ki1<i2<...<ik行和相应列的交叉位置上的元素构成的行列式。显然该对应关系是一一对应。于是，针对AAA的kkk阶主子式的一个排列M(k,1),M(k,2),...,M(k,N(k))M(k,1),M(k,2),...,M(k,N(k))M(k,1),M(k,2),...,M(k,N(k))，我们根据上述的对应关系，可以得到AAA的n−kn-kn−k列正规代换式的一个排列，记为A(n−k,1),A(n−k,2),...,A(n−k,N(k))A(n-k,1),A(n-k,2),...,A(n-k,N(k))A(n−k,1),A(n−k,2),...,A(n−k,N(k))。并且，如果我们将正规代换式按照被代换的列进行展开，就能得到如下关系：A(n−k,i)=(−1)kλn−kM(k,i),i=1,2,...,N(k)A(n-k,i)=(-1)^k\lambda^{n-k}M(k,i),i=1,2,...,N(k)A(n−k,i)=(−1)kλn−kM(k,i),i=1,2,...,N(k)例如，对于上面举的222列正规代换式的例子，先按照第2列展开，再按照最后一列展开，即可发现其与相对应的主子式之间的关系。
接下来，利用行列式的性质对特征多项式进行暴力展开：det(λI−A)=∣λ−a110−a12⋯0−a1n0−a21λ−a22⋯0−a2n⋮⋮⋱⋮0−an10−an2⋯λ−ann∣\begin{aligned}det(\lambda I-A)&=\begin{vmatrix}\lambda-a_{11}&0-a_{12}&\cdots&0-a_{1n}\\0-a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&0-a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0-a_{n1}&0-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn}\end{vmatrix}\end{aligned}det(λI−A)=∣∣∣∣∣∣∣∣∣λ−a110−a21⋮0−an10−a12λ−a22⋮0−an2⋯⋯⋱⋯0−a1n0−a2n⋮λ−ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣上述行列式的每个元素都是两个元素相减的形式，利用行列式的加法性质，将该行列式的每一列展开，最终将得到2n2^n2n个行列式（det(λI−A)det(\lambda I-A)det(λI−A)有n列，每展开一列，行列式的总数就翻倍）。注意，这2n2^n2n个行列式均具备如下特征：任取其中一列，例如第iii列，则只有两种可能，即取出来的要么是−A-A−A的第iii列，要么满足第iii个元素为λ\lambdaλ，而该列的其他元素均为零。例如下述行列式就在这2n2^n2n个行列式中：∣−a110⋯−a1,n−10−a21λ⋯−a2,n−10⋮⋮⋱⋮⋮−an10⋯−an,n−1λ∣\begin{vmatrix}-a_{11}&0&\cdots&-a_{1,n-1}&0\\-a_{21}&\lambda&\cdots&-a_{2,n-1}&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\-a_{n1}&0&\cdots&-a_{n,n-1}&\lambda\end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣−a11−a21⋮−an10λ⋮0⋯⋯⋱⋯−a1,n−1−a2,n−1⋮−an,n−100⋮λ∣∣∣∣∣∣∣∣∣这不就是AAA的正规代换式吗？举个n=3n=3n=3的例子：∣λ−a110−a120−a130−a21λ−a220−a230−a310−a32λ−a33∣=∣λ0−a120−a130λ−a220−a2300−a32λ−a33∣+∣−a110−a120−a13−a21λ−a220−a23−a310−a32λ−a33∣=∣λ00−a130λ0−a2300λ−a33∣+∣λ−a120−a130−a220−a230−a32λ−a33∣+∣−a1100−a13−a21λ0−a23−a310λ−a33∣+∣−a11−a120−a13−a21−a220−a23−a31−a32λ−a33∣=∣λ000λ000λ∣+∣λ0−a130λ−a2300−a33∣+∣λ−a1200−a2200−a32λ∣+∣λ−a12−a130−a22−a230−a32−a33∣+∣−a1100−a21λ0−a310λ∣+∣−a110−a13−a21λ−a23−a310−a33∣+∣−a11−a120−a21−a220−a31−a32λ∣+∣−a11−a12−a13−a21−a22−a23−a31−a32−a33∣\begin{aligned}\begin{vmatrix}\lambda-a_{11}&0-a_{12}&0-a_{13}\\0-a_{21}&\lambda-a_{22}&0-a_{23}\\0-a_{31}&0-a_{32}&\lambda-a_{33}\end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}\lambda&0-a_{12}&0-a_{13}\\0&\lambda-a_{22}&0-a_{23}\\0&0-a_{32}&\lambda-a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-a_{11}&0-a_{12}&0-a_{13}\\-a_{21}&\lambda-a_{22}&0-a_{23}\\-a_{31}&0-a_{32}&\lambda-a_{33}\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix}\lambda&0&0-a_{13}\\0&\lambda&0-a_{23}\\0&0&\lambda-a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\lambda&-a_{12}&0-a_{13}\\0&-a_{22}&0-a_{23}\\0&-a_{32}&\lambda-a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-a_{11}&0&0-a_{13}\\-a_{21}&\lambda&0-a_{23}\\-a_{31}&0&\lambda-a_{33}\end{vmatrix}\\&+\begin{vmatrix}-a_{11}&-a_{12}&0-a_{13}\\-a_{21}&-a_{22}&0-a_{23}\\-a_{31}&-a_{32}&\lambda-a_{33}\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix}\lambda&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\lambda&0&-a_{13}\\0&\lambda&-a_{23}\\0&0&-a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\lambda&-a_{12}&0\\0&-a_{22}&0\\0&-a_{32}&\lambda\end{vmatrix}\\&+\begin{vmatrix}\lambda&-a_{12}&-a_{13}\\0&-a_{22}&-a_{23}\\0&-a_{32}&-a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-a_{11}&0&0\\-a_{21}&\lambda&0\\-a_{31}&0&\lambda\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-a_{11}&0&-a_{13}\\-a_{21}&\lambda&-a_{23}\\-a_{31}&0&-a_{33}\end{vmatrix}\\&+\begin{vmatrix}-a_{11}&-a_{12}&0\\-a_{21}&-a_{22}&0\\-a_{31}&-a_{32}&\lambda\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-a_{11}&-a_{12}&-a_{13}\\-a_{21}&-a_{22}&-a_{23}\\-a_{31}&-a_{32}&-a_{33}\end{vmatrix}\end{aligned}∣∣∣∣∣∣λ−a110−a210−a310−a12λ−a220−a320−a130−a23λ−a33∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣λ000−a12λ−a220−a320−a130−a23λ−a33∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣−a11−a21−a310−a12λ−a220−a320−a130−a23λ−a33∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣λ000λ00−a130−a23λ−a33∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣λ00−a12−a22−a320−a130−a23λ−a33∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣−a11−a21−a310λ00−a130−a23λ−a33∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣−a11−a21−a31−a12−a22−a320−a130−a23λ−a33∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣λ000λ000λ∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣λ000λ0−a13−a23−a33∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣λ00−a12−a22−a3200λ∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣λ00−a12−a22−a32−a13−a23−a33∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣−a11−a21−a310λ000λ∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣−a11−a21−a310λ0−a13−a23−a33∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣−a11−a21−a31−a12−a22−a3200λ∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣−a11−a21−a31−a12−a22−a32−a13−a23−a33∣∣∣∣∣∣
可见，我们可以通过行列式的加法性质，将特征多项式展开成AAA的全部正规代换式之和。于是有det(λI−A)=A(n,1)+A(n−1,1)+A(n−1,2)+..+A(n−1,n)+A(n−2,1)+A(n−2,2)+...+A(n−2,N(2))+...+A(1,1)+A(1,2)+...+A(1,n)+A(0,1)=λn+(−1)1(M(1,1)+M(1,2)+..+M(1,n))λn−1+(−1)2(M(2,1)+M(2,2)+...+M(2,N(2)))λn−2+...+(−1)n−1(M(n−1,1)+M(n−1,2)+...+M(n−1,n))λ+(−1)ndet(A)\begin{aligned}det(\lambda I-A)&=A(n,1)+A(n-1,1)+A(n-1,2)+..+A(n-1,n)\\&+A(n-2,1)+A(n-2,2)+...+A(n-2,N(2))\\&+...+A(1,1)+A(1,2)+...+A(1,n)+A(0,1)\\&=\lambda^n+(-1)^1(M(1,1)+M(1,2)+..+M(1,n))\lambda^{n-1}\\&+(-1)^2(M(2,1)+M(2,2)+...+M(2,N(2)))\lambda^{n-2}\\&+...+(-1)^{n-1}(M(n-1,1)+M(n-1,2)+...+M(n-1,n))\lambda+(-1)^ndet(A)\end{aligned}det(λI−A)=A(n,1)+A(n−1,1)+A(n−1,2)+..+A(n−1,n)+A(n−2,1)+A(n−2,2)+...+A(n−2,N(2))+...+A(1,1)+A(1,2)+...+A(1,n)+A(0,1)=λn+(−1)1(M(1,1)+M(1,2)+..+M(1,n))λn−1+(−1)2(M(2,1)+M(2,2)+...+M(2,N(2)))λn−2+...+(−1)n−1(M(n−1,1)+M(n−1,2)+...+M(n−1,n))λ+(−1)ndet(A)这就证明了λn−k\lambda^{n-k}λn−k的系数为(−1)kpk(-1)^kp_k(−1)kpk，其中pk=∑i=1N(k)M(k,i)p_k=\sum_{i=1}^{N(k)}M(k,i)pk=∑i=1N(k)M(k,i)为AAA的全部kkk阶主子式之和。

方法2

方法2是利用复合阵（compound matrix）的性质去证明的，但由于复合阵的性质本身具有一定的复杂性，所以有点大材小用的感觉。。。感兴趣的同学可以参考下面的参考文献2，以及维基百科。

参考文献：
1、王莉.n阶矩阵的特征多项式的一般项系数[J].鞍山师范学院学报,1988(04):4-6.
（链接：http://xueshu.baidu.com/usercenter/paper/show?paperid=045718b9e25184a576eb98aa8c8e44ca&site=xueshu_se）
2、李巍,胡方景.关于矩阵的特征多项式的展开式[J].青海师专学报,2001(06):8-10.
（链接：https://www.ixueshu.com/document/87cdb46781e796a8318947a18e7f9386.html）

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