开尔文模型

第三章、非线性粘弹流体的本构方程 第一节、本构方程 第二节、空间描述法和物质描述法 第三节、广义Maxwell模型 聚合物具有多层次内部结构，当其在加工流场中受外力作用时，它们的变化相当复杂，表现出与之相关联的各种宏观流变行为。 (1)不同类型流体的流动曲线 (2)weissenberg效应 (3)出口胀大 (4)二次流动 当聚合物流动在一椭圆形截面的管子中流动时，除了轴向流动外，还可能出现图中对称于椭圆两轴线的环流。称为二次流动。第二法向应力差的存在是出现二次流动的必要条件。第二次法向应力差与聚合物大分子链被拉伸的程度相关。对于聚合物共混来说，为了更加达到均匀混合的目的，二次流动的出现是有利的。 (5)无管虹吸 第一节、本构方程概念 本构方程——描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。 不同的材料以不同本构方程表现其基本物性： 对于粘性流体，现在时刻的应力只依赖于现在时刻的形变速率张量，与形变的历史无关。Φ1=φ2=0，η为常数，称为牛顿流体。η=η(γ),称为非牛顿流体。 对于粘弹性流体， Φ1和φ2不等于0，此时流体具有记忆特性，现在时刻的应力不仅与当前的形变速率张量有关，还与形变历史有关。 关于非线性粘弹流体的本构方程主要可分为两大类：速率型(亦称微商型)本构方程和积分型本构方程。 所谓速率型本构方程，即方程中包含了应力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。 所谓积分型本构方程则利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的叠加来描述材料的非线性粘弹性。积分又分为单重积分或多重积分。速率型本构方程和积分型本构方程本质上是等价的。 速率型本构方程 一、经典的线性粘弹性模型 ——Maxwell模型 已知高分子材料本体的线性粘弹行为可以用一些力学模型，如Maxwell模型、开尔文模型、及它们的恰当组合进行描述。 弹簧是最简单的弹性模型，粘壶是最简单的粘性模型，弹簧盒粘壶的组合构成粘弹性材料的机械模型。 弹簧满足线形弹性体的三个条件： (1)应力与应变的响应是瞬时的：对突加载荷，一旦加载，弹簧立即变形，一旦卸载，弹簧立即恢复到原来的形状。 (2)对线性弹簧，应力与应变成正比。 (3)应力和应变都不随时间而改变。 在一定得应力作用下，材料可以无限的变形，这是粘性流体的特征。Maxwell模型瞬时响应呈现弹性体的特征，而时间效应呈现粘性流体的特征。 开尔文模型 开尔文模型是由一个弹簧和一个粘壶并联而成。 开尔文模型是理想弹簧并联了一个粘壶，不能对应力或应变产生瞬时弹性效应。当t→无穷时，开尔文模型的蠕变趋向于一条渐近线，这是粘弹性固体在稳定蠕变时的特征。 各种其他模型 设液体在剪切力作用下发生流动，弹簧、粘壶同时发生形变。注意图中画出的是拉伸形变，我们想象在流场中，弹簧、粘壶发生剪切形变。 将上式写成三维形式，以张量表示，则有： 例1Maxwell模型用于描述稳态简单剪切流场 代入式中得到： Maxwell模型有限的描述能力与方程的推广方式有关，特别与方程中应力张量的导数形式有关。 式中描述的应力变化的导数形式是应力对时间的一般偏微商，这种偏微商通常只能描述无穷小形变行为，或流动中体系性质无变化的形变行为。对于描述高分子液体在大形变下的非线性粘弹行为，必须对力张量的导数形式审慎定义和推广。 另外，在考察流场中流体流动时，紧盯着固定坐标系的一点考察(注意在不同时刻流经该点的流体元不同)和紧跟着一个流体元考察(该流体元在不同时刻占据空间不同位置)是大不相同的。为此我们首先介绍流体力学中描写材料元流动的空间描述法和物质描述法，然后再讨论经典Maxwell模型的推广。 第二节、空间描述法和物质描述法 例如：设一流体元初始时刻在参考构型中的位置矢量为X，到t时刻它运动到即时构型中的位置x. 根据拉格朗日描述，流体元在某一时刻t到达空间的位置x即与X有关，所以x可以写成X和时间t的函数，记成： 式则确定了在时间t占有空间位置x的流体元在时间t所经历的位移。 速度矢量：流体元的位移矢量的时间变化率。因为要针对一个具体的流体元求速度，所以应当采用物质描述, 一个具体流体元的物质坐标XR是常数，所以速度矢量等于： 因此这个导数展开来写，有： 对流动场中其他与流体元相关的物理量，若用空间描述法表示其对时间的物质导数，都有类似的形式。 例如应力张量得分物质微商可记为： 第三节、广义Maxwell模型 随流坐标系中，质点的随流坐标不变，为常数，故此采用随流坐标对流体元的描述为物质描述。 随流坐标系中对形变的度量是通过计算在两个时刻(t,t’) 一个材料元中任何两个质点间的距离变化来表示的。这种形变度量也必