在学习二叉树之前先要学【先导知识】树的概念和表示方法

1、二叉树

2、二叉树的遍历

3、二叉排序树

前言

对于大量的数据而言，链表的线性访问时间太慢，不宜使用。本章节将会介绍一种简单的数据结构：树（tree），其大部分操作的运行时间平均为O（logN）。在数据结构中树是非常有用的抽象概念，在本篇中我们将讨论二叉树的存储结构、二叉树的遍历和二叉排序树的实现，为后续平衡树以及高阶搜索树打下基础。

1、二叉树

二叉树（binary tree）是一棵每一个节点最多只能有两个孩子的树（度为2），当一棵树只有左孩子或者右孩子的最坏情况称为斜树；

当一棵树的度只为0或者2，我们把这种树称为满二叉树；当一棵树的节点严格按照从上到下、从左到右的的次序依次排列，我们把这种树称为完全二叉树，根据定义，满二叉树是完全二叉树的一种特殊情况；如果我们用NULL或者其他不可能出现的关键字来补满所有的空节点，那么这种树称为扩展二叉树。

同时二叉树还有些性质在考试中经常考到，这里也总结一下：

在第 i 层的二叉树上最多有 2^(i-1) 个节点；
深度为 k 的二叉树有 2^k-1 个节点；
假设度为0、1、2的节点分别是n0、n1、n2，由于一棵树中节点数是T，所以T = n0 + n2 + n2，而树枝（节点之间的连线）的数量是T - 1，所以T - 1 = 2 * n2 + n1，由这两个关系式可得：n0=n2+1；
具有 n 个节点的完全二叉树深度为（ log2n）+1 向下取整；
由性质4可得：具有 n 个节点的完全二叉树节点按层次编号（从上到下、从左到右），如果 i = 1是根节点，那么对于任意一个节点它的双亲节点序号是 i / 2（i > 1）向下取整，如果当 2 * i > n 那么节点 i 一定没有左孩子（也没有右孩子），2 * i + 1 > n 没有右孩子；

对于二叉树的实现，我们同样可以考虑使用顺序结构或者链式结构。使用顺序结构，因为查找迅速在比赛中可以用到，我们可以根据上述的性质5，计算出父节点和它孩子之间的下标关系；

而因为一棵二叉树最多有两个孩子，所以我们在使用链式结构的时候可以直接用指针指向它们。

/*二叉树节点声明*/
typedef struct TreeNode
{int data;struct TreeNode* left, *right;
}Node;

至于二叉树的实现十分简单，哪有空就往哪插；

Node* root = NULL;void init(int key)
{root = (Node*)malloc(sizeof(Node));root->data = key;root->left = NULL;root->right = NULL;
}Node* findNode(Node* node ,int parent)
{static Node* temp = NULL;if (node->data == parent){temp = node;}if(node->left){findNode(node->left, parent);}if (node->right){findNode(node->right, parent);}return temp;
}void createNode(int key, int parent)
{Node* temp = findNode(root, parent);if (temp == NULL){printf("NOT FIND\n");return;}else{if (temp->left == NULL){Node* newnode = (Node*)malloc(sizeof(Node));newnode->data = key;newnode->left = NULL;newnode->right = NULL;temp->left = newnode;}else if (temp->right == NULL){Node* newnode = (Node*)malloc(sizeof(Node));newnode->data = key;newnode->left = NULL;newnode->right = NULL;temp->right = newnode;}else{//左右子树都存在printf("FULL\n");return;}}
}

2、二叉树的遍历

接下来我们重点介绍二叉树的遍历。

二叉树的遍历根据使用场景的不同分为：前序遍历、中序遍历、后序遍历及层序遍历；

前序遍历：先访问根节点再访问左子树再访问右子树；

如上所示的二叉树中，前序遍历的顺序是：1 ->2 -> 4 -> 5 -> 3 -> 6 ；

具体步骤如下图所示，访问顺序（由先到后） 绿、红、蓝

中序遍历：先访问左子树，再访问根节点，再访问右子树；

如上所示的二叉树中，中序遍历的顺序是：4 ->2 -> 5 -> 1 -> 6 -> 3

后序遍历：先访问左子树，再访问右子树，再访问根节点；

如上所示的二叉树中，后序遍历的顺序是：4 ->5 -> 2 -> 6 -> 3 -> 1

通过上述案例，我们可以得到一个重要性质：前序遍历的第一个一定是根，后序遍历的最后一个一定是根，那么通过前序和中序或者后序和中序就能推出树的抽象模型；

而用代码实现前中后序遍历，用递归实现是最简单不过的了：

//前序
void prev_order(Node* node)
{if (node == NULL){return;}printf("%d", node->data);prev_order(node->left);prev_order(node->right);
}//中序
void in_order(Node* node)
{if (node == NULL){return;}in_order(node->left);printf("%d", node->data);in_order(node->right);
}//后序
void past_order(Node* node)
{if (node == NULL){return;}past_order(node->left);past_order(node->right);printf("%d", node->data);
}

至于层序遍历，它能直观地将树的每一层输出，当然想要这样做用简单的递归肯定是不行的，这里我们使用队列来实现：

第一步：我们先把根节点入队；第二步：判断队列是否为空，如果不为空，就把队头出队，将它的孩子入队，如此循环，直到队列为空跳出；

代码的话我这里偷个小懒，用C++中的STL实现的队列，不会的同学正常写队列就行了，思路是一样的；

//层序
void level_order(Node* node)
{//创建队列std::queue<int> q;if (node != NULL){q.push(node->data);}while(!q.empty()){int temp = q.front();printf("%d ", temp);Node* tempNode = findNode(root, temp);q.pop();if (tempNode->left){q.push(tempNode->left->data);}if (tempNode->right){q.push(tempNode->right->data);}}
}

3、二叉排序树

二叉排序树又叫做二叉搜索树：如果一棵二叉树它的左子树不空，那么左子树的所有值都小于根节点；若右子树不为空，那么所有右子树的值都大于根节点，这就是二叉排序树（binary search tree）。

如上所示就是一棵二叉排序树。二叉排序树创造出来就是为了使我们在查找中更加方便（二分查找），由于二叉排序树的特殊性，使得其左边的值总是小于根节点，右边的值总是大于根节点，可以发现当我们用中序遍历这棵树时，它的结果是一个有序的序列：1 3 4 6 7 8 10 13 14；

它的节点的结构体和一般二叉树一样；

typedef struct TreeNode
{int data;struct TreeNode* left, * right;
}Node;

而构建一棵二叉排序树也很简单，按照它的性质插入即可；

//默认没有重复的key的情况
void insert(Node** root, int key)
{Node* prev = NULL;//用来指向正确的插入位置的父节点Node* temp = *root;while (temp != NULL){//追随root的上一个位置prev = temp;//如果插入的值小于该节点 往左边找if (key < temp->data){temp = temp->left;}//如果插入的值大于该节点 往右边找else if (key > temp->data){temp = temp->right;}}//找到了要插入的位置Node* newnode = (Node*)malloc(sizeof(Node));if (newnode == NULL){printf("ERR\n");return;}else{newnode->data = key;newnode->left = NULL;newnode->right = NULL;if (*root == NULL)//如果根节点没有初始化{*root = newnode;}else if (key < prev->data){prev->left = newnode;}else if (key > prev->data){prev->right = newnode;}}
}

二叉排序树的重点在于删除操作。对于二叉排序树的删除，我们一般分为三种情况：

第一种情况：删除的是叶子节点，这时候直接删除就行了，因为删除它不会对整棵树产生影响；
第二种情况：删除的节点有一个孩子（无论左右），这时候需要把它的孩子移动到被删除节点的位置就行了；
第三种情况：删除的节点有两个孩子，这时候需要找到该节点的直接前驱或者直接后继来替换删除节点；

前两种情况都好理解，我们详细说说第三种情况。以上文中的有序序列1 3 4 6 7 8 10 13 14为例，假如我们要删除值为8的节点，要想不对整个有序序列产生影响，删除后的结果应该是1 3 4 6 7 10 13 14，也就是我们要找到值是7或者值是10的节点替换8节点，然后按照情况一、二删除原来的7或者10,。这个7节点就是删除节点的直接前驱，同理节点10是删除节点的直接后继；

要找到这个直接前驱或者直接后继也很简单：从下图中我们可以看出，直接前驱节点一定是删除节点的左子树中的最大值，直接后继节点一定是删除节点的右子树中的最小值；

以直接前驱节点7为例，如果待删除的节点左子树存在，我们只需要先访问这个左子树，然后一直访问它的右子树即可。

/*真正的删除操作*/
void del(Node* node, Node* prev)
{Node* temp = NULL;//只有左子树或者只有右子树的情况 把要删除的节点删除 并把孩子替换上去if (node->left == NULL && node->right != NULL){temp = node;temp = temp->right;node->data = temp->data;node->left = temp->left;node->right = temp->right;free(temp);}else if (node->right == NULL && node->left != NULL){temp = node;temp = temp->left;node->data = temp->data;node->left = temp->left;node->right = temp->right;free(temp);}//叶子节点的情况else if (node->right == NULL && node->left == NULL){//左叶子的情况if (node->data < prev->data){prev->left = NULL;}else{prev->right = NULL;}free(node);}//左右子树都不为空的情况else{temp = node;Node* s = node;//指向左子树的最大值的指针//找左子树的最大值s = s->left;while (s->right != NULL){temp = s;//这里的temp指向s的父节点s = s->right;}//替换数据node->data = s->data;//还要删除s节点 又分两种情况//但是不管哪种情况此时的s要么没有孩子要么只有左孩子if (temp!= node){//说明s往下走了很多步 这个时候s一定在temp的右边temp->right = s->left;}else{//这个时候s一定在temp的左边temp->left = s->left;}}
}/*封装删除操作*/
void deleteNode(Node* root, int key)
{if(root == NULL){return;}else{static Node* prev = NULL;//prev是删除节点的父节点//递归地去寻找要删除的点if (key < root->data){prev = root;deleteNode(root->left, key);}else if (key > root->data){prev = root;deleteNode(root->right, key);}else{//删除del(root, prev);}}
}

用中序遍历测试结果

后话

正常来说，一棵二叉排序树的复杂度取决于树的高度h，但如果我插入的值是12345...呢？它是不是就成了我们所说的复杂度为O（N）的最坏的情况——斜树，为保证查找效率，人类历史上的第一棵自平衡树——二叉平衡树就此诞生！我们下次将详细讲解二叉平衡树的增删查改。

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