一、朴素贝叶斯概述

1、贝叶斯决策理论

假设现在我们有一个数据集，它由两类数据组成，我们现在用P1表示数据点属于类别1的概率，用P2表示数据点属于类别2的概率，那么对于一个新数据点X，可以用下面的规则来判断它的类别：
□如果P1(X)>P2(X), 那么类别为1。
□如果P1(X)<P2(X), 那么类别为2。
也就是说，我们会选择高概率对应的类别。这就是贝叶斯决策理论的核心思想，即选择具有最高概率的决策。

2、条件概率

条件概率就是就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。
公式：P(A|B) = P(AB)/P(B)

3、朴素贝叶斯

贝叶斯准则告诉我们如何交换条件概率中的条件与结果，可以使用下面的计算方法：

P(A)称为"先验概率"，即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。
P(A|B)称为"后验概率"（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。
P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"（Likelyhood），这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。
朴素贝叶斯则做了条件独立性的假设，每个特征之间相互独立。

4、朴素贝叶斯一般过程

⑴收集数据：可以使用任何方法。
(2)准备数据：需要数值型或者布尔型数据。
(3)分析数据：有大量特征时，绘制特征作用不大，此时使用直方图效果更好。
(4)训练算法：计算不同的独立特征的条件概率。
(5)测试算法：计算错误率。
(6)使用算法：一个常见的朴素贝叶斯应用是文档分类。可以在任意的分类场景中使用朴素贝叶斯命类器，不一定非要是文本。

二、朴素贝叶斯算法–垃圾邮件

1、准备数据：从文本中构建词向量

把文本看成单词向量或者词条向量，也就是说将句子转换为向量。考虑出现在所有文档中的所有单词，再决定将哪些词纳人词汇表或者说所要的词汇集合，然后必须要将每一篇文档转换为词汇表上的向量。
词表到向量的转换函数：
第一个函数 loadDataSet() 创建了一些实验样本。该函数返回的第一个变量是进行词条切分后的文档集合,返回的第二个变量是一个类别标签的集合。函数createVocabList（）会创建一个包含在所有文档中出现的不重复词的列表，为此使用set 数据类型。将词条列表输给set构造函数，set就会返回一个不重复词表。使用函数setOfWords2Vec(），该函数的输人参数为词汇表及某个文档，输出的是文档向量，向量的每一元素为1或0，分别表示词汇表中的单词在输人文档中是否出现。函数首先创建一个和词汇表等长的向量，并将其元素都设置为0 。接着，遍历文档中的所有词，如果出现了词汇表中的单词，则将输出的文档向量中的对应值设为1。

#  函数loadDataSet() 创建了一些实验样本。该函数返回的第一个变量是进行词条切分后的文档集合,第二个变量为自定义的类别
def loadDataSet():postingList=[['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'],['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']]classVec = [0, 1, 0, 1, 0, 1]return postingList, classVec#  创建不重复词库列表
def createVocabList(dataSet):vocabSet = set([])               #创建一个空集for document in dataSet:vocabSet = vocabSet | set(document)   #创建两个集合的并集return list(vocabSet)
#  输出文档向量
def setOfWords2Vec(vocabList, inputSet):returnVec = [0]*len(vocabList)       #创建一个元素都为0的向量#遍历数据集单词for word in inputSet:#存在单词在词袋中则if word in vocabList:#index用于找到第一个与之匹配的下标returnVec[vocabList.index(word)] = 1else:print ("the word: %s is not in my Vocabulary!" % word)return returnVec
dataSet,classVec = loadDataSet()
vocabset = createVocabList(dataSet)
print(vocabset)
returnVec = setOfWords2Vec(vocabset,dataSet[0])
print(returnVec)

测试结果：可以看到把句子转化为了数字向量。

2、训练算法：从词向量计算概率

准备数据介绍了如何将一组单词转换为一组数字，接下来看看如何使用这些数字计算概率。
假设现在已经知道一个词是否出现在一篇文档中，也知道该文档所属的类别。接下来运用上面介绍的朴素贝叶斯公式计算概率：

对每个类计算该值，然后比较这两个概率值的大小。
首先可以通过类别1中文档数除以总的文档数来计算概率P(A)。接下来计算P(B|A) , 这里就要用到朴素贝叶斯假设。如果将B展开为一个个独立特征，那么就可以将上述概率写作P(b1,b2,…bn|A)。这里假设所有词都互相独立，该假设也称作条件独立性假设，它意味着可以使用P(b1|A)(b2|A)(b3|A)…(bn|A)来计算上述概率，这就极大地简化了计算的过程。

from numpy import *
#  函数loadDataSet() 创建了一些实验样本。该函数返回的第一个变量是进行词条切分后的文档集合,第二个变量为自定义的类别
def loadDataSet():postingList=[['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'],['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']]classVec = [0, 1, 0, 1, 0, 1]return postingList, classVec#  创建不重复词库列表
def createVocabList(dataSet):vocabSet = set([])               #创建一个空集for document in dataSet:vocabSet = vocabSet | set(document)   #创建两个集合的并集return list(vocabSet)
#  输出文档向量
def setOfWords2Vec(vocabList, inputSet):returnVec = [0]*len(vocabList)       #创建一个元素都为0的向量#遍历数据集单词for word in inputSet:#存在单词在词袋中则if word in vocabList:#index用于找到第一个与之匹配的下标returnVec[vocabList.index(word)] = 1else:print ("the word: %s is not in my Vocabulary!" % word)return returnVec
#  训练算法，求概率
"""
该函数的伪代码如下：
计算每个类别中的文档数目
对每篇训练文档：对每个类别：如果词条出现文档中―增加该词条的计数值增加所有词条的计数值对每个类别：对每个词条：将该词条的数目除以总词条数目得到条件概率返回每个类别的条件概率
"""
def trainNB0(trainMatrix,trainCategory):numTrainDocs = len(trainMatrix)numWords = len(trainMatrix[0])pAbusive = sum(trainCategory)/float(numTrainDocs)#  初始化概率p0Num = zeros(numWords); p1Num = zeros(numWords)p0Denom = 0.0; p1Denom = 0.0#   遍历文档，向量相加for i in range(numTrainDocs):if trainCategory[i] == 1:           #  侮辱类文档，向量相加p1Num += trainMatrix[i]p1Denom += sum(trainMatrix[i])else:                               #  非侮辱类文档向量相加p0Num += trainMatrix[i]p0Denom += sum(trainMatrix[i])p1Vect = p1Num/p1Denom         #  各个单词在侮辱类中出现的概率p0Vect = p0Num/p0Denom         #  各个单词在非侮辱类中出现的概率return p0Vect,p1Vect,pAbusivedataSet, classVec = loadDataSet()
vocabset = createVocabList(dataSet)
trainMat = []
for postinDoc in dataSet:trainMat.append(setOfWords2Vec(vocabset,postinDoc))
p0Vect, p1Vect, pAbusive = trainNB0(trainMat,classVec)
print(p0Vect)   #  非侮辱类词向量概率
print(p1Vect)   #  侮辱类词向量概率
print(pAbusive)  #侮辱性文档的概率

两个类别的概率向量以及属于侮辱性文档的概率：

3、测试算法：根据现实情况修改分类器

问题一：利用贝叶斯分类器对文档进行分类时，要计算多个概率的乘积以获得文档属于某个类别的概率，即计算P(b1|A)(b2|A)(b3|A)…(bn|A) 。如果其中一个概率值为0 ,那么最后的乘积也为0。
解决：为降低这种影响，可以将所有词的出现数初始化为1，并将分母初始化为2。

p0Num = ones(numWords); p1Num = ones(numWords)
p0Denom = 2.0; p1Denom = 2.0

问题二：相乘值过小可能溢出。这是由于太多很小的数相乘造成的。当计算乘积P(b1|A)(b2|A)(b3|A)…(bn|A) ,由于大部分因子都非常小，所以程序会下溢出或者得到不正确的答案。
解决：在实际中对概率取对数的形式，可以防止相乘是溢出。

p1Vect = log(p1Num/p1Denom)
p0Vect = log(p0Num/p0Denom)

构建好完整的分类器后，进行测试分类。

from numpy import *
#  函数loadDataSet() 创建了一些实验样本。该函数返回的第一个变量是进行词条切分后的文档集合,第二个变量为自定义的类别
def loadDataSet():postingList=[['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'],['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']]classVec = [0, 1, 0, 1, 0, 1]return postingList, classVec#  创建不重复词库列表
def createVocabList(dataSet):vocabSet = set([])               #创建一个空集for document in dataSet:vocabSet = vocabSet | set(document)   #创建两个集合的并集return list(vocabSet)
#  输出文档向量
def setOfWords2Vec(vocabList, inputSet):returnVec = [0]*len(vocabList)       #创建一个元素都为0的向量#遍历数据集单词for word in inputSet:#存在单词在词袋中则if word in vocabList:#index用于找到第一个与之匹配的下标returnVec[vocabList.index(word)] = 1else:print ("the word: %s is not in my Vocabulary!" % word)return returnVecdef trainNB0(trainMatrix,trainCategory):numTrainDocs = len(trainMatrix)numWords = len(trainMatrix[0])pAbusive = sum(trainCategory)/float(numTrainDocs)p0Num = zeros(numWords); p1Num = zeros(numWords)p0Denom = 0.0; p1Denom = 0.0#   遍历文档，向量相加for i in range(numTrainDocs):if trainCategory[i] == 1:           #  侮辱类文档，向量相加p1Num += trainMatrix[i]p1Denom += sum(trainMatrix[i])else:                               #  非侮辱类文档向量相加p0Num += trainMatrix[i]p0Denom += sum(trainMatrix[i])p1Vect = p1Num/p1Denom         #  各个单词在侮辱类中出现的概率p0Vect = p0Num/p0Denom         #  各个单词在非侮辱类中出现的概率return p0Vect,p1Vect,pAbusive#  测试算法
def classifyNB(vec2Classify, p0Vec, p1Vec, pClass1):#计算abusive的概率p1 = sum(vec2Classify * p1Vec) + log(pClass1)#计算not abusive概率p0 = sum(vec2Classify * p0Vec) + log(1.0 - pClass1)#看哪个概率大if p1 > p0:return 1else:return 0
def testingNB():# test_list=[]; test_class=[0,1]#加载数据集listOPosts,listClasses = loadDataSet()#创建词汇袋myVocabList = createVocabList(listOPosts)trainMat=[]for postinDoc in listOPosts:trainMat.append(setOfWords2Vec(myVocabList, postinDoc))p0V,p1V,pAb = trainNB0(array(trainMat),array(listClasses))testEntry = ['love', 'my', 'dalmation']thisDoc = array(setOfWords2Vec(myVocabList, testEntry))print (testEntry,'classified as: ',classifyNB(thisDoc,p0V,p1V,pAb))testEntry = ['stupid', 'garbage']thisDoc = array(setOfWords2Vec(myVocabList, testEntry))print (testEntry,'classified as: ',classifyNB(thisDoc,p0V,p1V,pAb))
testingNB()

显示如下：

5、垃圾邮件分类

我们将每个词的出现与否作为一个特征，这可以被描述为词集模型。如果一个词在文档中出现不止一次，这可能意味着包含该词是否出现在文档中所不能表达的某种信息，这种方法被称为词袋模型化。
在词袋中，每个单词可以出现多次，而在词集中，每个词只能出现一次。为适应词袋模型，需要对函数setOfWords2Vec（）稍加修改，修改后的函数称为bagOfWords2VecMN（）。它与函数setOfWords2Vec（）几乎
完全相同，唯一不同的是每当遇到一个单词时，它会增加词向量中的对应值，而不只是将对应的数值设为1。
数据：emai数据集
函数textParse():对文档句子进行切分、处理。
函数spamTest()对贝叶斯垃圾邮件分类器进行自动化处理。本例中共有50封电子邮件，并不是很多，其中的10封电子邮件被随机选择为测试集。进行误差测试，求出错误率。

from numpy import *
#统计列表中所有不重复的单词,词汇袋
def createVocabList(dataSet):#定义词汇集vocabSet = set([])     #set集合为不会有重复词的集合#遍历数据集for document in dataSet:#把每个文档合并到词汇袋中vocabSet = vocabSet | set(document) #union of the two setsreturn list(vocabSet)# 训练算法
def trainNB0(trainMatrix,trainCategory):#计算文档的数目numTrainDocs = len(trainMatrix)#计算词袋单词的数目numWords = len(trainMatrix[0])#计算类别的概率 abusive的文档站文档总数的百分比pAbusive = sum(trainCategory)/float(numTrainDocs)#初始化计数器，1行*numWords列#p0是not abusive p1是abusive#为什么是不是0矩阵？#因为如果是0的话，按照贝叶斯公式，p（W0|1）*p（W1|1）#如果任意概率为0则全为0所以初始值为1#同时下面分母初始化2p0Num = ones(numWords); p1Num = ones(numWords)#初始化分母p0Denom = 2.0; p1Denom = 2.0#遍历数据集中每个文档for i in range(numTrainDocs):#如果这文档是abusive类的计算它的abusive比例if trainCategory[i] == 1:#储存每个词在abusive下出现次数p1Num += trainMatrix[i]#储存abusive词的总数目p1Denom += sum(trainMatrix[i])else:#储存每个词在not abusive的出现次数p0Num += trainMatrix[i]#储存not abusive词的总数目p0Denom += sum(trainMatrix[i])#使用log是为了防止数据向下溢出# 计算abusive下每个词出现的概率p1Vect = log(p1Num/p1Denom)          #change to log()各个单词在侮辱类中出现的概率# 计算not abusive下每个词出现的概率p0Vect = log(p0Num/p0Denom)          #change to log()各个单词在非侮辱类中出现的概率#返回词出现的概率和文档为abusice的概率return p0Vect,p1Vect,pAbusive
#贝叶斯分类
#第一个参数是要被训练的向量
#后面三个参数是根据上面一个函数处理训练样本后得到的参数
def classifyNB(vec2Classify, p0Vec, p1Vec, pClass1):#计算abusive的概率p1 = sum(vec2Classify * p1Vec) + log(pClass1)#计算not abusive概率p0 = sum(vec2Classify * p0Vec) + log(1.0 - pClass1)#看哪个概率大if p1 > p0:return 1else:return 0
#计算文档单词在某个词袋中出现的次数
# 把单词转换成向量,用对比已经有得词袋，计算词出现的次数
def bagOfWords2VecMN(vocabList, inputSet):returnVec = [0]*len(vocabList)for word in inputSet:if word in vocabList:returnVec[vocabList.index(word)] += 1return returnVec# 输入字符串，输出单词列表
def textParse(bigString):import relistOfTokens = re.split(r'\W+', bigString)return [tok.lower() for tok in listOfTokens if len(tok) > 2]
def spamTest():# 定义docList文档列表，classList类别列表，fullText所有文档词汇docList=[]; classList = []; fullText =[]#遍历文件夹内文件for i in range(1,26):# 定义并读取垃圾邮件文件的词汇分割列表wordList = textParse(open('email/spam/%d.txt' % i).read())# 将词汇列表加到文档列表中docList.append(wordList)# 将所有词汇列表汇总到fullText中fullText.extend(wordList)# 文档类别为1，spamclassList.append(1)# 读取非垃圾邮件的文档wordList = textParse(open('email/ham/%d.txt' % i).read())# 添加到文档列表中，注意append和extend的区别，append直接加列表，extend加元素docList.append(wordList)# 添加到所有词汇列表中fullText.extend(wordList)# 类别为0，非垃圾邮件classList.append(0)# 创建词汇列表vocabList = createVocabList(docList)# 定义训练集的索引和测试集trainingSet = list(range(50)); testSet=[]# 随机的选择10个作为测试集for i in range(10):#随机索引randIndex = int(random.uniform(0,len(trainingSet)))#将随机选择的文档加入测试集testSet.append(trainingSet[randIndex])#从训练集中删除随机选择的文档del(trainingSet[randIndex])#定义训练集的矩阵和类别trainMat=[]; trainClasses = [];# test_list=[];test_class=[]#遍历训练集，求先验概率和条件概率for docIndex in trainingSet:#将词汇列表变成向量放到trainList中trainMat.append(bagOfWords2VecMN(vocabList, docList[docIndex]))#添加训练集的类标签trainClasses.append(classList[docIndex])#计算先验概率，条件概率p0V,p1V,pSpam = trainNB0(array(trainMat),array(trainClasses))errorCount = 0#对测试集分类for docIndex in testSet:        #classify the remaining items#将测试集向量化wordVector = bagOfWords2VecMN(vocabList, docList[docIndex])   #bagOfWords2VecMN函数将词汇向量化和计算次数    setOfWords2Vec将词汇向量化# 对测试数据进行分类if classifyNB(array(wordVector),p0V,p1V,pSpam) != classList[docIndex]:#错误的话错误计数加一errorCount += 1print( "classification error",docList[docIndex])print ('the error rate is: ',float(errorCount)/len(testSet))return vocabList,fullText
spamTest()

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