关于消元法求解线性方程组

可将系数和结果转换为矩阵，并可令B为增广矩阵

将A、B通过消元法求解

所有的m*n的矩阵经过一系列初等变换，都可以变成如下的形式：

r就是最简矩阵当中非零行的行数，它也被称为矩阵的秩。我们把A矩阵的秩记作: R(A),那些方程组中真正是干货的方程个数，就是这个方程组对应矩阵的秩，阶梯形矩阵的秩就是其非零行数！

一个矩阵经过初等变换，它的行列式保持不变。如果行列式当中存在某一行或者某一列全部为0，那么它的行列式为0。

因此，对于n阶矩阵A而言，如果它的秩R(A)<n，那么|A|=0。

可逆矩阵的秩就等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数。所以，可逆矩阵又称为满秩矩阵，不可逆矩阵又称为降秩矩阵。

线性方程组的解

我们理解了矩阵的秩的概念之后，看看它在线性方程组上的应用。

假设当下有一个n元m个等式的方程组：

我们可以将它写成矩阵相乘的形式：Ax = b

其中A是一个m*n的矩阵，

我们利用系数矩阵A和增广矩阵B=(A,b)的秩，可以和方便地看出线性方程组是否有解。我们先来看结论：

当R(A) < R(B)时无解

当R(A) = R(B) = n时，有唯一解

当R(A) = R(B) < n时，有无数解

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: UTF-8 -*-
#                     _ooOoo_
#                   o8888888o
#                    88" . "88
#                 ( | -  _  - | )
#                     O\ = /O
#                 ____/`---'\____
#                  .' \\| |// `.
#                 / \\|||:|||// \
#               / _|||||-:- |||||- \
#                | | \\\ - /// | |
#              | \_| ''\---/'' | _/ |
#               \ .-\__ `-` ___/-. /
#            ___`. .' /--.--\ `. . __
#         ."" '< `.___\_<|>_/___.' >'"".
#       | | : `- \`.;`\  _ /`;.`/ - ` : | |
#          \ \ `-. \_ __\ /__ _/ .-` / /
#      ==`-.____`-.___\_____/___.-`____.-'==
#                     `=---='
'''
@Project ：pythonalgorithms
@File ：Rankofmatrix.py
@Author ：不胜人生一场醉@Date ：2021/8/22 22:56
'''
import numpy as npA = np.array([[3, 1, 0], [-1, 2, 1], [3, 4, 2]])
b = np.array([0, 2, 3])B = np.array([[3, 1, 0, 0], [-1, 2, 1, 2], [3, 4, 2, 3]])# A的秩
print("A的秩为{}".format(np.linalg.matrix_rank(A)))
# A的秩为3
# B的秩
print("B的秩为{}".format(np.linalg.matrix_rank(B)))
# B的秩为3
# 求解方程
x = np.linalg.solve(A, b)
print("x={}".format(x))
# x=[-0.2  0.6  0.6]
# 可将结果带入验证方程
# 3*-0.2 + 1*0.6 + 0*0.6 = 0
# -1*-0.2 + 2*0.6 + 1*0.6 = 2
# 3*-0.2 + 4*0.6 + 2*0.6 = 3