一.朴素贝叶斯概述

朴素贝叶斯法是基于贝叶斯定理与特征条件独立性假设的分类方法。对于给定的训练集，首先基于特征条件独立假设学习输入输出的联合概率分布（朴素贝叶斯法这种通过学习得到模型的机制，显然属于生成模型）；然后基于此模型，对给定的输入 x，利用贝叶斯定理求出后验概率最大的输出 y

二.朴素贝叶斯的基本公式

1.联合分布率

联合概率表示为包含多个条件并且所有的条件都同时成立的概率，记作 P ( X = a , Y = b ) P(X=a,Y=b) P(X=a,Y=b) 或 P ( a , b ) P(a,b) P(a,b) 或 P ( a b ) P(ab) P(ab)

2.条件概率

有一个装了 7 块石头的罐子，其中 3 块是白色的，4 块是黑色的。如果从罐子中随机取出一块石头，那么是白色石头的可能性是多少

显然，取出白色石头的概率为 3/7 ，取到黑色石头的概率是 4/7 。我们使用 P(white) 来表示取到白色石头的概率，其概率值可以通过白色石头数目除以总的石头数目来得到。

7 块石头如图所示，放在两个桶中，那么条件概率应该如何计算？

要计算 P(white) 或者 P(black) ，显然，石头所在桶的信息是会改变结果的，这就是条件概率 conditional probability。假定计算的是从 B 桶取到白色石头的概率，这个概率可以记作 P(white|bucketB) ，我们称之为 “在已知石头出自 B 桶的条件下，取出白色石头的概率”。

很容易得到，P(white|bucketA) 值为 2/4 ，P(white|bucketB)的值为 1/3 。

条件概率计算公式如下：

放到我们这个例子中来： P(white|bucketB) = P(white and bucketB) / P(bucketB)

公式解读：

P(white|bucketB)：在已知石头出自 B 桶的条件下，取出白色石头的概率
P(white and bucketB)：取出 B 桶中白色石头的概率 = 1 / 7
P(bucketB)：取出 B 桶中石头的概率 3 / 7

3.贝叶斯定理

另外一种有效计算条件概率的方法称为贝叶斯定理。贝叶斯定理告诉我们如何交换条件概率中的条件与结果，即如果已知 P(X|Y)，要求 P(Y|X):

P(Y∣X)=P(X∣Y)P(Y)/P(X)

P(Y)：先验概率。先验概率（prior probability）是指事情还没有发生，求这件事情发生的可能性的大小，是先验概率。它往往作为"由因求果"问题中的"因"出现。

P ( Y ∣ X ) P(Y|X) P(Y∣X)：后验概率。后验概率是指事情已经发生，求这件事情发生的原因是由某个因素引起的可能性的大小。后验概率的计算要以先验概率为基础

P ( X ∣ Y ) P(X|Y) P(X∣Y) ：条件概率，又叫似然概率，一般是通过历史数据统计得到。一般不把它叫做先验概率，但从定义上也符合先验定义。

4.朴素贝叶斯分类器

朴素贝叶斯法通过训练数据集学习联合概率分布 P ( X , Y ) P(X,Y) P(X,Y)，其实就是学习先验概率分布和条件概率分布：

先验概率分布：

条件概率分布：

于是由条件概率公式可以求出联合概率分布

朴素贝叶斯法分类时，对给定的输入 x，通过上述学习到的模型计算后验概率分布 P(Y = c_k|X = x) 将后验概率最大的类作为 x 的类的输出。后验概率根据贝叶斯定理进行计算：

对分母运用全概率公式：

将条件独立性假设 4.3 带入上式，得到朴素贝叶斯分类基本公式：

上式中的分母对于所有类别来说都是一样的，对计算结果不会产生影响，所以，朴素贝叶斯分类器可以简化为

三.实现垃圾邮件过滤

1、朴素贝叶斯实现垃圾邮件分类的步骤

（1）收集数据：提供文本文件。

（2）准备数据：将文本文件解析成词条向量。

（3）分析数据：检查词条确保解析的正确性。

（4）训练算法：计算不同的独立特征的条件概率。

（5）测试算法：计算错误率。

（6）使用算法：构建一个完整的程序对一组文档进行分类

2.数据集下载

email文件夹下有两个文件夹ham和spam ：点击下载数据集

ham文件夹下的txt文件为正常邮件；

spam文件下的txt文件为垃圾邮件；

3.代码实现

# -*- coding: UTF-8 -*-
import numpy as np
import re
import random"""
函数说明:将切分的实验样本词条整理成不重复的词条列表，也就是词汇表
Parameters:dataSet - 整理的样本数据集
Returns:vocabSet - 返回不重复的词条列表，也就是词汇表
"""
def createVocabList(dataSet):vocabSet = set([])  # 创建一个空的不重复列表for document in dataSet:vocabSet = vocabSet | set(document)  # 取并集return list(vocabSet)"""
函数说明:根据vocabList词汇表，将inputSet向量化，向量的每个元素为1或0
Parameters:vocabList - createVocabList返回的列表inputSet - 切分的词条列表
Returns:returnVec - 文档向量,词集模型
"""
def setOfWords2Vec(vocabList, inputSet):returnVec = [0] * len(vocabList)               #创建一个其中所含元素都为0的向量for word in inputSet:                          #遍历每个词条if word in vocabList:                      #如果词条存在于词汇表中，则置1returnVec[vocabList.index(word)] = 1else:print("the word: %s is not in my Vocabulary!" % word)return returnVec        #返回文档向量"""
函数说明:根据vocabList词汇表，构建词袋模型
Parameters:vocabList - createVocabList返回的列表inputSet - 切分的词条列表
Returns:returnVec - 文档向量,词袋模型
"""
def bagOfWords2VecMN(vocabList, inputSet):returnVec = [0] * len(vocabList)  # 创建一个其中所含元素都为0的向量for word in inputSet:             # 遍历每个词条if word in vocabList:         # 如果词条存在于词汇表中，则计数加一returnVec[vocabList.index(word)] += 1return returnVec  # 返回词袋模型"""
函数说明:朴素贝叶斯分类器训练函数
Parameters:trainMatrix - 训练文档矩阵，即setOfWords2Vec返回的returnVec构成的矩阵trainCategory - 训练类别标签向量，即loadDataSet返回的classVec
Returns:p0Vect - 正常邮件类的条件概率数组p1Vect - 垃圾邮件类的条件概率数组pAbusive - 文档属于垃圾邮件类的概率
"""
def trainNB0(trainMatrix, trainCategory):numTrainDocs = len(trainMatrix)  # 计算训练的文档数目numWords = len(trainMatrix[0])  # 计算每篇文档的词条数pAbusive = sum(trainCategory) / float(numTrainDocs)  # 文档属于垃圾邮件类的概率p0Num = np.ones(numWords)p1Num = np.ones(numWords)  # 创建numpy.ones数组,词条出现数初始化为1,拉普拉斯平滑p0Denom = 2.0p1Denom = 2.0  # 分母初始化为2 ,拉普拉斯平滑for i in range(numTrainDocs):if trainCategory[i] == 1:  # 统计属于侮辱类的条件概率所需的数据，即P(w0|1),P(w1|1),P(w2|1)···p1Num += trainMatrix[i]p1Denom += sum(trainMatrix[i])else:  # 统计属于非侮辱类的条件概率所需的数据，即P(w0|0),P(w1|0),P(w2|0)···p0Num += trainMatrix[i]p0Denom += sum(trainMatrix[i])p1Vect = np.log(p1Num / p1Denom)p0Vect = np.log(p0Num / p0Denom)   #取对数，防止下溢出return p0Vect, p1Vect, pAbusive  # 返回属于正常邮件类的条件概率数组，属于侮辱垃圾邮件类的条件概率数组，文档属于垃圾邮件类的概率"""
函数说明:朴素贝叶斯分类器分类函数
Parameters:vec2Classify - 待分类的词条数组p0Vec - 正常邮件类的条件概率数组p1Vec - 垃圾邮件类的条件概率数组pClass1 - 文档属于垃圾邮件的概率
Returns:0 - 属于正常邮件类1 - 属于垃圾邮件类
"""
def classifyNB(vec2Classify, p0Vec, p1Vec, pClass1):#p1 = reduce(lambda x, y: x * y, vec2Classify * p1Vec) * pClass1  # 对应元素相乘#p0 = reduce(lambda x, y: x * y, vec2Classify * p0Vec) * (1.0 - pClass1)p1=sum(vec2Classify*p1Vec)+np.log(pClass1)p0=sum(vec2Classify*p0Vec)+np.log(1.0-pClass1)if p1 > p0:return 1else:return 0"""
函数说明:接收一个大字符串并将其解析为字符串列表
"""
def textParse(bigString):  # 将字符串转换为字符列表listOfTokens = re.split(r'\W*', bigString)  # 将特殊符号作为切分标志进行字符串切分，即非字母、非数字return [tok.lower() for tok in listOfTokens if len(tok) > 2]  # 除了单个字母，例如大写的I，其它单词变成小写"""
函数说明:测试朴素贝叶斯分类器，使用朴素贝叶斯进行交叉验证
"""
def spamTest():docList = []classList = []fullText = []for i in range(1, 26):  # 遍历25个txt文件wordList = textParse(open('email/spam/%d.txt' % i, 'r').read())  # 读取每个垃圾邮件，并字符串转换成字符串列表docList.append(wordList)fullText.append(wordList)classList.append(1)  # 标记垃圾邮件，1表示垃圾文件wordList = textParse(open('email/ham/%d.txt' % i, 'r').read())  # 读取每个非垃圾邮件，并字符串转换成字符串列表docList.append(wordList)fullText.append(wordList)classList.append(0)  # 标记正常邮件，0表示正常文件vocabList = createVocabList(docList)  # 创建词汇表，不重复trainingSet = list(range(50))testSet = []  # 创建存储训练集的索引值的列表和测试集的索引值的列表for i in range(10):  # 从50个邮件中，随机挑选出40个作为训练集,10个做测试集randIndex = int(random.uniform(0, len(trainingSet)))  # 随机选取索索引值testSet.append(trainingSet[randIndex])  # 添加测试集的索引值del (trainingSet[randIndex])  # 在训练集列表中删除添加到测试集的索引值trainMat = []trainClasses = []  # 创建训练集矩阵和训练集类别标签系向量for docIndex in trainingSet:  # 遍历训练集trainMat.append(setOfWords2Vec(vocabList, docList[docIndex]))  # 将生成的词集模型添加到训练矩阵中trainClasses.append(classList[docIndex])  # 将类别添加到训练集类别标签系向量中p0V, p1V, pSpam = trainNB0(np.array(trainMat), np.array(trainClasses))  # 训练朴素贝叶斯模型errorCount = 0  # 错误分类计数for docIndex in testSet:  # 遍历测试集wordVector = setOfWords2Vec(vocabList, docList[docIndex])  # 测试集的词集模型if classifyNB(np.array(wordVector), p0V, p1V, pSpam) != classList[docIndex]:  # 如果分类错误errorCount += 1  # 错误计数加1print("分类错误的测试集：", docList[docIndex])print('错误率：%.2f%%' % (float(errorCount) / len(testSet) * 100))if __name__ == '__main__':spamTest()

4.运行结果

5.朴素贝叶斯评价

优点：在数据较少的情况下仍然有效，可以处理多类别问题

缺点：对于输入数据的准备方式较为敏感；由于朴素贝叶斯的“朴素”特点，所以会带来一些准确率上的损失

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