正不变集（Positive invariant set）的形象理解

给定一个动态系统： $\dot{x}=f(x)$

设：系统运动轨迹为 $x(t, x_0)$ ，其中 $x_0$ 是初始点。

假设存在一个集合 $O = \{ x\in \mathbb{R}^n | \phi(x) = 0 \}$ ，其中 $\phi(x)$ 是一个实函数。

如果集合满足：初始点 $x_0\in O$ ，且对于 $\forall t \geq 0$ 有 $x(t, x_0) \in O$ 。则称集合 $O$ 是一个正不变集。

形象的理解如下图所示：

圆锥是个正不变集，圆球是一个有初速度的运动体，球的轨迹始终会在圆锥内，圆锥是个正不变集。

个人理解，有哪里不对的地方感谢指出。

close all; clear; clc;
[xS, yS, zS] = sphere(6);       % 球形数据
sphereRatio = 0.03; xS = sphereRatio*xS; yS = sphereRatio*yS; zS = sphereRatio*zS;
[X,Y,Z] = cylinder([0 sqrt(3)/3], 30);   % 圆锥数据
x_new = 0; y_new = sqrt(3)/3; z_new = 1; idx = 1;
figure(1); set(gcf, 'position', [1920+0 0 1280 600]);
set(gcf, 'Color', 'w');
%% ==============================
subplot(1,2,2); hold on;
contour(X,Y,Z);
title('俯视图'); set(gca, 'FontSize', 16);
xlabel('x'); ylabel('y'); axis equal; grid minor;
handle2DLine = animatedline('Color', 'r', 'LineStyle', '--');
circle(x_new, y_new, sphereRatio, 'b');subplot(1,2,1); hold on;
mesh(X,Y,Z, 'FaceColor', 'interp', 'FaceAlpha', 0.5, 'EdgeColor', 'k', 'EdgeAlpha', 0, 'LineStyle', '-');
colormap gray;
title('三维视图'); view(-45, 20); set(gca, 'FontSize', 16);
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z'); axis equal; grid minor;
handle3DLine = animatedline('Color', 'r', 'LineStyle', '--');
surf(x_new+xS, y_new+yS, z_new+zS, 'FaceColor', 'b','FaceAlpha',0.5,'EdgeColor', 'b', 'EdgeAlpha',1, 'LineStyle', '-');%% 仿真数据
handleLast = [];
deltaT = 0.05;
vHorizontal = 1; vVertical = 1e-10;while(z_new > 0)x = z_new / sqrt(3) * x_new / sqrt(x_new^2 + y_new^2);y = z_new / sqrt(3) * y_new / sqrt(x_new^2 + y_new^2);z = z_new;delete(handleLast);subplot(1,2,1); handle3D = surf(x+xS, y+yS, z+zS, 'FaceColor', 'r','FaceAlpha',0.5,'EdgeColor', 'r', 'EdgeAlpha',1, 'LineStyle', '-');handle = legend('$O$', '$x(t, x_0)$', '$x_0$', '$x_{now}$', 'Position', [480 380 0 0]);set(handle,'Interpreter','latex', 'FontSize', 12);subplot(1,2,2); handle2D = circle(x, y, sphereRatio, 'r');%     handle = legend('$O$', '$x(t, x_0)$', '$x_0$');
%     set(handle,'Interpreter','latex', 'FontSize', 12);addpoints(handle2DLine, x, y);addpoints(handle3DLine, x, y, z);handleLast(1) = handle3D; handleLast(2) = handle2D;x_new =  deltaT * vHorizontal * y / sqrt(x^2 + y^2) + x;y_new = -deltaT * vHorizontal * x / sqrt(x^2 + y^2) + y;z_new = -deltaT * vVertical * sqrt(3) / 2 + z;vVertical = sqrt(vVertical^2 + 2*1*(z - z_new));im(idx) = getframe(1);            % 获取当前图形idx = idx + 1;drawnow;
endfilename = 'simPicture.gif'; % Specify the output file name
for idx = 1:size(im, 2)[A,map] = rgb2ind(frame2im(im(idx)),256);if idx == 1imwrite(A,map,filename,'gif','LoopCount',Inf,'DelayTime',1e-1);elseimwrite(A,map,filename,'gif','WriteMode','append','DelayTime',1e-1);end
end%% ==============================
function handle2D = circle( x,y,r,c )handle2D = rectangle('Position',[x-r,y-r,2*r,2*r],'Curvature',[1,1],'linewidth',1,...'FaceColor', c);
end

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