Tietze扩张定理

设D⊂RnD \sub \R^nD⊂Rn为闭子集，f:D→R\bm{f}:D \rightarrow \Rf:D→R是有界连续函数，则存在连续函数g:Rn→R\bm{g}:\R^n\rightarrow\Rg:Rn→R，满足g∣D=f\bm{g}|_D=\bm{f}g∣D=f。

证明：

主要参考了:度量空间上映射的扩张，Tietze 扩张定理

思路：不断构造gi\bm{g}_igi,使得f−∑j=1igi\bm{f}-\sum_{j=1}^i\bm{g}_if−∑j=1igi的界减少。

设MMM为f\bm{f}f的界，A1={x∣f(x)≥M3}，B1={x∣f(x)≤−M3}A_1=\{\bm{x}|\bm{f}(\bm{x})\ge \frac{M}{3}\}，B_1= \{\bm{x}|\bm{f}(\bm{x})\le -\frac{M}{3}\}A1={x∣f(x)≥3M}，B1={x∣f(x)≤−3M}。

构造l(x)=d(x,A1)−d(x,B1)d(x,A1)+d(x,B1)\bm{l}(\bm{x})=\frac{d(\bm{x},A_1)-d(\bm{x},B_1)}{d(\bm{x},A_1)+d(\bm{x},B_1)}l(x)=d(x,A1)+d(x,B1)d(x,A1)−d(x,B1)，那么l(x)\bm{l}(\bm{x})l(x)在A1A_1A1上的值域为111,在B1B_1B1上的值域为−1-1−1，在Rn−{A1∪B1}\R^n -\{A_1\cup B_1\}Rn−{A1∪B1}上的值域为(−1,1)(-1,1)(−1,1)，且显然l\bm{l}l连续。

令g1(x)=M3l(x)\bm{g}_1(\bm{x})=\frac{M}{3}\bm{l}(\bm{x})g1(x)=3Ml(x)，故f−g1\bm{f}-\bm{g}_1f−g1在DDD上的界为2M3\frac{2M}{3}32M。重复上述过程即可得到一列g1,g2,g3,⋯\bm{g}_1,\bm{g}_2,\bm{g}_3,\cdotsg1,g2,g3,⋯，令h=∑i=1∞gi\bm{h}=\sum_{i=1}^{\infty} \bm{g}_ih=∑i=1∞gi。

由f−∑i=1ngi∣D≤2i3iM\bm{f}-\sum_{i=1}^{n}\bm{g}_i|_D \le \frac{2^i}{3^i}Mf−∑i=1ngi∣D≤3i2iM知h\bm{h}h在DDD上一致收敛至f\bm{f}f，由gi(x)≤2i−13i\bm{g}_i(x) \le \frac{2^{i-1}}{3^i}gi(x)≤3i2i−1知hhh在Rn\R^nRn上一致收敛，由gi\bm{g}_igi的连续性知h\bm{h}h连续，故h\bm{h}h为所得。

推论1

f\bm{f}f若无界，同样具有连续扩张。

证明：
考虑(-1,1)上的函数h=tan⁡(2πx)h=\tan(2\pi x)h=tan(2πx)，h−1∘fh^{-1}\circ \bm{f}h−1∘f具有连续扩张g\bm{g}g，h∘gh\circ \bm{g}h∘g即为所求。

推论2

若f\bm{f}f定义在开集上，需将连续的条件加强至一致连续。

证明：
(−π2,π2)(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})(−2π,2π)上的函数tan⁡(x)\tan(x)tan(x)显然不具有连续扩张。
当f\bm{f}f一致连续时，∀x∈∂D\forall x \in \partial D∀x∈∂D，由Cauchy收敛准则知任何趋近它的点列{xn}\{\bm{x_n}\}{xn}的函数值{f(xn)}\{\bm{f}(\bm{x_n})\}{f(xn)}极限存在，根据海涅归结原理任何点列的极限都是一样的，故可将f\bm{f}f延拓至DDD的闭包上，再用Tietze扩张定理即可。

推论3

Rn\R^nRn中有理点集上的一致连续函数惟一扩张到全空间。

证明：
与推论2类似，每个无理点的极限存在且惟一，将极限作为无理点的函数值即可。容易证明这样的函数是惟一的。

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证明：

推论1

推论2

推论3

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