2.1 开集和闭集

拓扑空间

（定义2.1） XXX是一个拓扑空间，如果它存在一组非空子集（称为开集）族，满足

无限个开集的并是开集
有限个开集的交是开集
全集和空集是开集

无限开集是不是开集的例子。
设XXX是定义在R2R^2R2上的欧式拓扑，开集取常规定义下的开圆，取其中无数个开集
(x,y)∣x2+y2<1n,n=1,2,⋯{(x,y)|x^2+y^2<\frac{1}{n}}, n=1,2,\cdots(x,y)∣x2+y2<n1,n=1,2,⋯。
显然这无限个开集的交是原点，而原点不是开集。

邻域

对拓扑空间XXX中的一个点（元素）ppp，任何一个包含ppp的开集都是ppp的一个邻域。

子空间诱导的拓扑

XXX是一个拓扑空间（背景集合和开集族），YYY是XXX上（背景集合）的一个子集，若定义YYY中的开集为XXX中开集和YYY的交，则YYY为XXX在子空间上诱导（induce）的拓扑。

离散拓扑

XXX中所有的子集均为开集构成的拓扑空集。

闭集

XXX是一个拓扑空间，XXX的一个子集称为一个闭集，如果这个子集的补为开集。

一个子集可以同时为开集和闭集。比如在X={0,1}X=\{0,1\}X={0,1}上赋予离散拓扑，则由定义，{0}\{0\}{0}和{1}\{1\}{1}显然同时为开集和闭集。

极限点

AAA是拓扑空间XXX的一个子集。一个点（元素）p∈Xp \in Xp∈X被称为AAA的极限点，当且仅当对于任意ppp的邻域，均包含至少一个点，它属于A−{p}A-\{p\}A−{p}。

例1：XXX是定义在R1R^1R1上的欧式拓扑，AAA取所有1/n,n=1,2,⋯1/n, n=1,2,\cdots1/n,n=1,2,⋯点组成的点集，则AAA中唯一的极限点是原点。

例2：XXX是定义在R1R^1R1上的欧式拓扑，AAA取[0,1)[0,1)[0,1)，则AAA中任一点均为极限点，且1也是一个AAA的极限点。

例3：XXX是定义在R3R^3R3上的欧式拓扑，AAA取R3R^3R3中所有的有理点，则XXX全体都是极限点。

例4：XXX是定义在R3R^3R3上的欧式拓扑，AAA取R3R^3R3中所有的整数点，则AAA没有极限点。

闭集和极限点的定理

（定理2.2） 一个集合是闭集，当且仅当它包含了它自身所有的极限点。

闭集和闭包的关系

（定理2.3） 子集AAA的闭包为包含AAA的最小闭集，或者说，子集AAA的闭包为所有包含AAA的闭集的交。

（推论2.4） 一个子集为闭集，当且仅当它的闭包为自身。

集合AAA的闭包写作Aˉ\bar{A}Aˉ。

稠密

如果一个子集的闭包为整个拓扑空间，则称这个子集是稠密的。

如上述例3中R3R^3R3上所有的有理点的集合是稠密的。

稠密集和空间中任意一个开集相交。

内部点（集）

子集AAA的内部点（interior），通常写作A˚\mathring{A}A˚，指所有包含AAA的集合的交。

一个点xxx属于集合AAA的内部点，当且仅当集合AAA是点xxx的邻域。

开集的内部点集就是开集本身。

边界点（集）

拓扑空间XXX中的子集AAA的边界点（frontier）定义为AAA的闭包和X−AX-AX−A的闭包的交。

一个等价的定义为XXX减去AAA的内部点，再减去X−AX-AX−A的内部点。

拓扑基

如果有一个拓扑空间XXX，以及一组XXX中的开集β\betaβ，如果XXX中任何一个开集都可以表示成若干个β\betaβ中开集的并，则β\betaβ构成XXX中的一个拓扑基。

一个等价的定义是，对于任何一个点xxx，取它的邻域NNN，NNN中总有一个点，这个点属于β\betaβ中某一个开集。

例：对于R2R^2R2上的欧式拓扑，开圆盘是其中一个拓扑基，开矩形也是其中的一个拓扑基。

（定理2.5） 设β\betaβ是集合XXX中的一个子集族，若有限个β\betaβ中的集合相交仍在β\betaβ中，且⋃β=X\bigcup \beta = X⋃β=X，则β\betaβ为XXX的一个拓扑基，形成XXX的拓扑空间。

证明：取开集族为所有β\betaβ中集合并成的集合，验证这样的开集族满足拓扑空间的三个条件即可。按开集族的取法，无限并在开集族中；按定理的条件，有限交在开集族中；按定理的条件，全集在开集族中；人工添加空集到开集族中。显然赋予这样开集族的XXX是拓扑空间。得证。

2.2 连续函数

连续函数

（定理2.6） 拓扑空间XXX到拓扑空间YYY的函数是连续的（continuous），当且仅当YYY中开集的原像（inverse image）在XXX中是开集。

映射

连续函数通常被称为映射（map）。

（定理2.7） 映射的复合还是映射。即f:X→Yf: X \rightarrow Yf:X→Y是连续函数，g:Y→Zg: Y \rightarrow Zg:Y→Z是连续函数，则f∘g:X→Zf \circ g: X \rightarrow Zf∘g:X→Z也是连续函数。

子空间诱导拓扑下的连续函数

（定理2.8） 设f:X→Yf: X \rightarrow Yf:X→Y是连续函数，AAA是XXX的子集，且赋予子空间诱导的拓扑，则f∣A:A→Yf|A: A \rightarrow Yf∣A:A→Y也是连续函数。

连续函数的性质

（定理2.9） 以下5个命题等价：

(a). f:X→Yf: X \rightarrow Yf:X→Y连续

(b). β\betaβ是YYY的一个拓扑基，任何一个β\betaβ中的集合的原像是XXX中的开集

(d). ∀B⊆Y,f−1(B)‾⊆f−1(Bˉ)\forall B \subseteq Y, \overline{f^{-1}(B)} \subseteq f^{-1}(\bar{B})∀B⊆Y,f−1(B)⊆f−1(Bˉ)

(e). YYY中闭集的原像都是XXX中的闭集。

证明：证明命题等价的方法为(a)⇒(b)⇒(c)⇒(d)⇒(e)⇒(a)(a) \Rightarrow (b) \Rightarrow (c) \Rightarrow (d) \Rightarrow (e) \Rightarrow (a)(a)⇒(b)⇒(c)⇒(d)⇒(e)⇒(a)。

(a)⇒(b)(a) \Rightarrow (b)(a)⇒(b)，由定义显然。

(b)⇒(c)(b) \Rightarrow (c)(b)⇒(c)，在Aˉ\bar{A}Aˉ中任取一点xxx，若x∈Ax \in Ax∈A，则显然f(x)∈f(A)⊆f(A)‾f(x) \in f(A) \subseteq \overline{f(A)}f(x)∈f(A)⊆f(A)；若x∉Ax \notin Ax∈/A，则xxx是AAA的一个极限点。因此，我们只需要证明xxx是AAA的一个极限点时，f(x)f(x)f(x)是f(A)f(A)f(A)的极限点的情况。任取f(x)f(x)f(x)的一个邻域NNN，由(b)，可取YYY中一个拓扑基B∈βB \in \betaB∈β，使得f(x)∈B⊆Nf(x) \in B \subseteq Nf(x)∈B⊆N。要证f(x)f(x)f(x)是f(A)f(A)f(A)的极限点，即证存在一点f(x′)f(x')f(x′)，f(x′)∈Nf(x') \in Nf(x′)∈N且f(x′)∈f(A)f(x') \in f(A)f(x′)∈f(A)。由(b)，f−1(B)f^{-1}(B)f−1(B)是XXX中的开集，因为x∈f−1(B)x \in f^{-1}(B)x∈f−1(B)且xxx为极限点，故存在一点x′∈Ax' \in Ax′∈A且x′∈f−1(B)x' \in f^{-1}(B)x′∈f−1(B)。因此显然，f(x′)∈f(A)f(x') \in f(A)f(x′)∈f(A)且f(x′)∈B⊆Nf(x') \in B \subseteq Nf(x′)∈B⊆N。命题得证。

(c)⇒(d)(c) \Rightarrow (d)(c)⇒(d)，∀B⊆Y\forall B \subseteq Y∀B⊆Y，∃A⊆X\exist A \subseteq X∃A⊆X，使得A=f−1(B)A = f^{-1}(B)A=f−1(B)。代入©，得到f(f−1(B)‾)⊆f(f−1(B))‾=Bˉf(\overline{f^{-1}(B)}) \subseteq \overline{f(f^{-1}(B))} = \bar{B}f(f−1(B))⊆f(f−1(B))=Bˉ，两侧同时取f−1f^{-1}f−1，则(d)得证。

(d)⇒(e)(d) \Rightarrow (e)(d)⇒(e)，如果BBB是YYY中的闭集，则B=BˉB=\bar{B}B=Bˉ。由(d)，f−1(B)‾⊆f−1(Bˉ)=f−1(B)\overline{f^{-1}(B)} \subseteq f^{-1}(\bar{B}) = f^{-1}(B)f−1(B)⊆f−1(Bˉ)=f−1(B)，因此(e)得证。

(e)⇒(a)(e) \Rightarrow (a)(e)⇒(a)，设UUU是YYY中的开集，则f−1(U)⨿f−1(Y−U)=Xf^{-1}(U) \amalg f^{-1}(Y-U) = Xf−1(U)⨿f−1(Y−U)=X，其中⨿\amalg⨿表示无交并。（这里等号成立，是因为函数的性质决定了fff和f−1f^{-1}f−1为一一映射且为满射。）因为闭集的原像是闭集，且因为Y−UY-UY−U是闭集，因此f−1(Y−U)f^{-1}(Y-U)f−1(Y−U)是闭集。因此f−1(U)=X−f−1(Y−U)f^{-1}(U) = X - f^{-1}(Y-U)f−1(U)=X−f−1(Y−U)，因此开集的原像是开集。(a)得证。

连续函数的逆不一定为连续函数。

例：XXX为[0,1)[0,1)[0,1)赋予R1R^1R1欧式拓扑的子空间拓扑，YYY为单位圆赋予R2R^2R2欧式拓扑的子空间拓扑。f:X→Y=e2πixf:X \rightarrow Y = e^{2\pi ix}f:X→Y=e2πix为连续函数，因为任取XXX上的开区间，都是YYY上的开曲线区间。但f−1f^{-1}f−1不是连续函数，因为YYY中取跨越(1,0)(1,0)(1,0)点的一段开曲线区间，对应于XXX左右两侧一段开区间和一段闭区间。见图2.1。

同胚

如果存在XXX到YYY上一一对应、满射且连续的函数，且其逆函数也连续，则XXX和YYY同胚。

例：球极投影。去掉北极点的球和平面同胚。可构造从北极点向球面各点发射的射线，总是能和赤道平面相交在一点，它们显然一一对应、满射、连续、逆函数连续，因此同胚。

2.3 充满面的曲线

皮亚诺曲线

构造方法如图2.3所示。

可证明皮亚诺曲线充满了整个三角形。另外由于皮亚诺曲线是[0,1][0,1][0,1]到整个面的连续映射，因此，单方向的连续映射不能推出同胚。

2.4 Tietze扩张定理

暂跳过

参考

Basic Topology, M. A. Armstrong
Bilibili基础拓扑学公开课

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