【离散数学】集合论 第四章 函数与集合(6) 三歧性定理、两集合基数判等定理（基数的比较）、Cantor定理
本文属于「离散数学」系列文章之一。这一系列着重于离散数学的学习和应用。由于内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏离散数学系列文章汇总目录一文以作备忘。此外，在本系列学习文章中，为了透彻理解离散数学，本人参考了诸多博客、教程、文档、书籍等资料。以下是本文的不完全参考目录，在后续学习中还会逐渐补充：
- （国外经典教材）离散数学及其应用 第八版
Discrete Mathematics and Its Applications, Eighth Edition，作者是Kenneth H. Rosen，袁崇义译，机械工业出版社- 离散数学 第二版，武波等编著，西安电子科技大学出版社，2006年
- 离散数学 第三版，方世昌等编著，西安电子科技大学出版社，2013年
- （经典参考书及其题解）离散数学/离散数学——理论•分析•题解，左孝凌、李为鉴、刘永才编著，上海科学技术文献出版社
- 离散数学习题集：数理逻辑与集合论分册，耿素云；图论分册，耿素云；抽象代数分册， 张立昂。北京大学出版社
文章目录
- 6. 基数的比较
- 6.1 三歧性定律
- 6.2 两集合基数判等定理
- 6.3 Cantor定理
6. 基数的比较
由【离散数学】集合论 第四章 函数与集合(2) 特殊函数类（单射、满射、双射及其性质、常/恒等函数、置换/排列）知，当 A,BA, BA,B 是有限集合时，有：
（1）如果存在一个从 AAA 到 BBB 的单射函数，那么 ∣A∣≤∣B∣|A| \le |B|∣A∣≤∣B∣.
（2）如果存在一个从 AAA 到 BBB 的单射函数，但不存在双射函数，那么 ∣A∣<∣B∣|A| < |B|∣A∣<∣B∣ 。
若要证明 ∣A∣≤∣B∣|A| \le |B|∣A∣≤∣B∣ ，可以证明存在一个从 AAA 到 BBB 的单射函数，或存在一个从 BBB 到 AAA 的满射函数，前者比后者简单。
现在将这一结论推广到任意集合。
6.1 三歧性定律
定理6.1.1( Zemelo 三歧性定律) 设 AAA 和 BBB 是任意集合时，则以下三条中恰有一条成立：
（1）∣A∣<∣B∣|A| < |B|∣A∣<∣B∣ ；
（2）∣B∣<∣A∣|B| < |A|∣B∣<∣A∣ ；
（3）∣A∣=∣B∣|A| = |B|∣A∣=∣B∣ 。
这一定理的证明比较复杂，这里不予证明。
6.2 两集合基数判等定理
定理6.2.1(Cantor-Schroder-Bernstein 定理) 设 AAA 和 BBB 是任意集合，如果 ∣A∣≤∣B∣|A| \le |B|∣A∣≤∣B∣ 且 ∣B∣≤∣A∣|B| \le |A|∣B∣≤∣A∣ ，那么 ∣A∣=∣B∣|A| = |B|∣A∣=∣B∣ 。
这一定理的证明比较复杂，这里不予证明。定理6.2.1为证明两个集合具有相同的基数提供了有效方法，因为该定理实际上等价于「若存在从 AAA 到 BBB 和从 BBB 到 AAA 的单射函数，则存在从 AAA 到 BBB 的双射函数」。通常来说，构造这样的两个单射函数比构造一个双射函数要容易。
例1 证明 [0,1][0, 1][0,1] 与 (0,1)(0, 1)(0,1) 等势。
证明 分别构造单射函数 f:(0,1)→[0,1],f(x)=xf: (0, 1) \to [0, 1], f(x) = xf:(0,1)→[0,1],f(x)=x 和 g:[0,1]→(0,1),g(x)=12x+14g: [0, 1] \to (0, 1) , g(x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4}g:[0,1]→(0,1),g(x)=21x+41 。则有 ∣(0,1)∣≤∣[0,1]∣|~(0, 1)~| \le |~[0, 1]~|∣ (0,1) ∣≤∣ [0,1] ∣ 且 ∣[0,1]∣≤∣(0,1)∣|~ [0, 1]~| \le |~(0, 1)~|∣ [0,1] ∣≤∣ (0,1) ∣ 。根据定理6.2.1可得，∣[0,1]∣=∣(0,1)∣|~[0, 1]~ | = |~(0, 1)~|∣ [0,1] ∣=∣ (0,1) ∣ 。
例2 证明 ∣ρ(N)∣=ℵ|\rho(\N)| = \alef∣ρ(N)∣=ℵ 。
证明：
- 构造函数 f:ρ(N)→[0,1)f: \rho(\N) \to [0, 1)f:ρ(N)→[0,1) ，对于任一 S∈ρ(N)S \in \rho(\N)S∈ρ(N)（有S⊆NS \subseteq \NS⊆N），f(S)=0.x0x1x2x3…f(S) = 0.x_0x_1x_2x_3\dotsf(S)=0.x0x1x2x3… ，其中 xi={1ifi∈S0ifi∉Sx_i = \begin{cases} 1 \quad \mathtt{if\ i \in S} \\ 0 \quad \mathtt{if\ i\notin S} \end{cases}xi={1if i∈S0if i∈/S 。例如，f(∅)=0,f(N)=0.111111...,f({1,4,5})=0.010011f(\varnothing) = 0, f(\N) = 0.111111..., f(\{1, 4, 5\}) = 0.010011f(∅)=0,f(N)=0.111111...,f({1,4,5})=0.010011 。显然，fff 是单射的，所以有 ∣ρ(N)∣≤∣[0,1)∣|~ \rho(\N)~ | \le |~ [0, 1)~ |∣ ρ(N) ∣≤∣ [0,1) ∣ 。
- 构造函数 g:[0,1)→ρ(N)g: [0, 1) \to \rho(\N)g:[0,1)→ρ(N) 。对于任一 x∈[0,1)x \in [0, 1)x∈[0,1) ，将 xxx 表示为二进制小数的形式 0.x0x1x2x3…0.x_0x_1x_2x_3\dots0.x0x1x2x3… ，然后有 g(x)={i∣xi=1}g(x) = \{i\ |\ x_i = 1\}g(x)={i ∣ xi=1} 。例如 g(0.5)=g(0.12)={0},g(0.01012)={1,3}g(0.5) = g(0.1_2) = \{0\}, g(0.0101_2) = \{1, 3\}g(0.5)=g(0.12)={0},g(0.01012)={1,3} 。由于 ggg 是单射的，所以有 ∣[0,1)∣≤∣ρ(N)∣|~ [0, 1) ~ | \le |~ \rho(\N)~ |∣ [0,1) ∣≤∣ ρ(N) ∣ 。
- 由1和2知，∣ρ(N)∣=∣[0,1)∣=ℵ|~ \rho(\N)~ | = |~ [0, 1) ~ | = \alef∣ ρ(N) ∣=∣ [0,1) ∣=ℵ 。即自然数集合的幂集的基数为 ℵ\alefℵ 。
6.3 Cantor定理
定理6.3.1 设 AAA 是任意有限集合，则 ∣A∣<ℵ0<ℵ|A| < \alef_0 < \alef∣A∣<ℵ0<ℵ 。
证明留作练习。
定理6.3.2 任一无限集合必存在可数无限子集。
证明：设 AAA 是一个无限集合，可以用如下方式构造一个 AAA 的可数无限子集 BBB 。首先设 B=∅B = \varnothingB=∅ ，从 AAA 中任取一个元素 a0a_0a0 ，令 B=B∪{a0}B = B\cup \{a_0\}B=B∪{a0} ，因为 AAA 是无限的，所以 A−BA - BA−B 仍然是一个无限集；从 A−BA - BA−B 中任取一个元素 a1a_1a1 ，令 B=B∪{a1}B = B\cup \{ a_1\}B=B∪{a1} ，此时 A−BA - BA−B 仍然是一个无限集；以此类推，所得集合 BBB 即为 AAA 的一个可数无限子集。
定理6.3.3 ℵ0\alef_0ℵ0 是最小的无限集基数。
证明：设 AAA 是任一无限集合，AAA 必包含一个可数无限子集 BBB 。构造函数 f:B→Af: B\to Af:B→A ，使得 f(x)=xf(x) = xf(x)=x ，fff 是单射的，所以 ∣B∣≤∣A∣|B| \le |A|∣B∣≤∣A∣ 。因为 ∣B∣=ℵ0|B| = \alef_0∣B∣=ℵ0 ，所以 ℵ0≤∣A∣\alef_0 \le |A|ℵ0≤∣A∣ 。由于 AAA 是任意的，得 ℵ0\alef_0ℵ0 是最小的无限集基数。
虽然已经证明了 ℵ0\alef_0ℵ0 是最小的无限集基数，但在 ℵ0\alef_0ℵ0 与 ℵ\alefℵ 之间是否还存在其他基数呢？1878年，康托提出了连续统假设 continum hypothesis ，断言不存在这样的基数。1963年美国数学家保罗·约瑟夫·科恩 Paul Joseph Cohen 部分解决了这个问题，但连续统假设作为数学界的一个难题，至今仍然没有得到解决。
下面的定理说明，一个集合的幂集的基数总是大于该集合的基数，因此不存在最大的基数。
定理6.3.4( Cantor 定理) 设 MMM 是一集合，则 ∣M∣<∣ρ(M)∣|M| < |\rho(M)|∣M∣<∣ρ(M)∣ 。
证明：
- 证明 ∣M∣≤∣ρ(M)∣|M| \le |\rho(M)|∣M∣≤∣ρ(M)∣ 。
构造函数 f:M→ρ(M)f: M\to \rho(M)f:M→ρ(M) ，令 f(a)={a}f(a) = \{a\}f(a)={a} ，则 fff 是单射的，故 ∣M∣≤∣ρ(M)∣|M | \le |\rho(M)|∣M∣≤∣ρ(M)∣ 。 - 证明 ∣M∣≠∣ρ(M)∣|M| \ne |\rho(M)|∣M∣=∣ρ(M)∣ 。
设 g:M→ρ(M)g: M\to \rho(M)g:M→ρ(M) 是任意函数，证明 ggg 不是满射的。
函数 ggg 将 MMM 中的每个元素 xxx 映射到 MMM 的一个子集 g(x)g(x)g(x) ，元素 xxx 可能在 g(x)g(x)g(x) 中，也可能不在 g(x)g(x)g(x) 中。若 x∈g(x)x \in g(x)x∈g(x) ，xxx 称为内部元素；否则，xxx 称为外部元素。显然，任一元素 xxx 必恰为内部元素或外部元素之一。定义 S={x∣x∉g(x),x∈M}S = \{ x\ |\ x \notin g(x), x \in M\}S={x ∣ x∈/g(x),x∈M} ，即 SSS 是由 MMM 中的所有外部元素构成的集合。
假设 ggg 是满射的，则存在 m∈Mm \in Mm∈M ，使得 g(m)=Sg(m) = Sg(m)=S 。 下面分情况讨论：
① 若 m∈Sm \in Sm∈S ，则 m∈g(m)m \in g(m)m∈g(m) ，即 mmm 是内部元素，与 SSS 的定义 m∉g(m)m \notin g(m)m∈/g(m) 矛盾；
② 若 m∉Sm \notin Sm∈/S ，则 m∉g(m)m \notin g(m)m∈/g(m) ，即 mmm 是外部元素，与 m∉Sm \notin Sm∈/S 矛盾。
假设错误，即不存在 m∈Mm \in Mm∈M ，使得 g(m)=Sg(m) = Sg(m)=S 。因此 ggg 不可能是双射的，所以 ∣M∣≠∣ρ(M)∣|M | \ne |\rho(M)|∣M∣=∣ρ(M)∣ 。 - 由1和2知，∣M∣<∣ρ(M)∣|M| < |\rho(M)|∣M∣<∣ρ(M)∣ 。
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