二叉树

1. 二叉数是每个节点最多有两个子树,或者是空树(n=0),或者是由一个根节点及两个互不相交的,分别称为左子树和右子树的二叉树组成。

满二叉树

1. 有两个非空子树(二叉树中的每个结点恰好有两个孩子结点切所有叶子结点都在同一层)。
2. 也就是一个结点要么是叶结点，要么是有两个子结点的中间结点。
3. 深度为k且含有2^k-1个结点的二叉树。

完全二叉树

1. 从左到右依次填充。
2. 从根结点开始，依次从左到右填充树结点。
3. 除最后一层外，每一层上的所有节点都有两个子节点，最后一层都是叶子节点。
4. 完全二叉树是由满二叉树而引出来的，若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数(即1~h-1层为一个满二叉树)，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

通过之前对二叉搜索树介绍可知，将集合构造为二叉搜索树结构，该结构下对树中节点的查询、删除和插入三种操作，时间复杂度均为

。影响时间复杂度的因素即为二叉树的高，为了尽量避免树中每层上只有一个节点的情况，这里引入平衡二叉树。

树的深度：从根节点开始（其深度为0）自顶向下逐层累加的。上图中，13的深度是1，30的深度是2，28的深度是3。(图中第0层应为第一层)

树的高度：从叶子节点开始（其高度为0）自底向上逐层累加的。54的高度是2，根节点23的高度是3。(图中第0层应为第一层)

对于树中相同深度的每个节点来说，它们的高度不一定相同，这取决于每个节点下面的叶子节点的深度。上图中，13和54的深度都是1，但是13的高度是1，54的高度是2。

定义

平衡二叉树也叫自平衡二叉搜索树（Self-Balancing Binary Search Tree），所以其本质也是一颗二叉搜索树，不过为了限制左右子树的高度差，避免出现倾斜树等偏向于线性结构演化的情况，所以对二叉搜索树中每个节点的左右子树作了限制，左右子树的高度差称之为平衡因子，树中每个节点的平衡因子绝对值不大于

，此时二叉搜索树称之为平衡二叉树。

自平衡是指，在对平衡二叉树执行插入或删除节点操作后，可能会导致树中某个节点的平衡因子绝对值超过

，即平衡二叉树变得“不平衡”，为了恢复该节点左右子树的平衡，此时需要对节点执行旋转操作。

情景分析

当插入一个元素使平衡二叉树不平衡时，可能出现以下的四种情况：

1. LL：称为"左左"。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的左子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。

例如，在上面LL情况中，由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点"，而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点"；导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。

1. LR：称为"左右"。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的右子树还有非空子节点，导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。

例如，在上面LR情况中，由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点"，而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点"；导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。

1. RL：称为"右左"。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的左子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。

例如，在上面RL情况中，由于"根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点"，而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点"；导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。

1. RR：称为"右右"。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的右子树还有非空子节点，导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2，导致AVL树失去了平衡。

例如，在上面RR情况中，由于"根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点"，而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点"；导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。

下面根据上面的四种情况来具体看修复的办法。

LL旋转

当平衡二叉树失去平衡，显示出上面LL的情况时，可以用下面的一次调整使其恢复平衡。

从上图看出，只需要将高度较大的左子树的根节点作为其父节点，然后，将其父节点作为右子树的根节点；这时，原来左子树的右子树需要移动到现在的右子树下，作为其左子树。

RR旋转

当平衡二叉树失去平衡，显示出上面RR的情况时，可以用下面的一次调整使其恢复平衡。

从上图看出，只需要将高度较大的右子树的根节点作为其父节点，然后，将其父节点作为左子树的根节点；这时，原来右子树的左子树需要移动到现在的左子树下，作为其右子树。

LR旋转

当平衡二叉树失去平衡，显示出上面LR的情况时，可以用下面的两次调整使其恢复平衡。

如上图，先将k1为树根的子树向左旋转，即和前面的RR调整的方向类似，然后在将以k3为树根的子树向右旋转。

RL旋转

当平衡二叉树失去平衡，显示出上面RL的情况时，可以用下面的两次调整使其恢复平衡。

如上图，先将k3为树根的子树向右旋转，即和前面的LL调整的方向类似，然后在将以k1为树根的子树向左旋转。

性能分析

因为平衡二叉树也是二叉搜索树，回顾二叉搜索树中的操作复杂度，查询、插入和删除复杂度均为

。平衡二叉树中查询复杂度影响因素自然为树的高度；插入节点操作可以拆分为两个步骤：查询节点位置，插入节点后平衡操作；删除节点操作同理可以拆分为两个步骤：查询节点位置，删除节点后平衡操作。 平衡调节过程中可能存在旋转操作，递归执行的次数则依赖于树的高度（可以优化为当前节点平衡因子不发生变化，则取消向上递归）。所以平衡二叉树中查询、插入和删除节点操作的复杂度依赖于树高。

代码

给定一个二叉树，判断它是否是高度平衡的二叉树。

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