传染病（瘟疫）经常在世界各地流行，如霍乱、天花、艾滋病、SARS、新型冠状病毒、H5N1病毒等，建立传染病的数学模型，分析其变化规律，防止其蔓延是一项艰巨的任务，这里就一般的传染规律讨论传染病的数学模型。

先从最简单的看起，

指数传播模型

为了简化模型，我们做如下假设

所研究区域无人员流动，无迁入迁出，不考虑出生率死亡率，区域总人口保持不变。
患病人数N(t)是随时间t的连续可微函数。
每个病人在单位时间内传染到的人数为为常数p。

模型建立

设t时刻患病人数为N(t),t+▲t时刻患病人数为 N（t+▲t），在▲t的时间段内，患病人数为pN(t)▲t.那么就有

由于N(t)连续可微，将上述方程两边同时除以 ▲t，并且▲t趋近于0，得到微分方程

求得此模型的解析解为

适用阶段：

因为该模型表示患病人数是呈现指数型增长的，在传染病爆发初期，由于不懂得如何预防，不懂得病毒的传染方式等原因，病毒传播较快，该指数模型较为适合。

模型缺点与改进：

指数模型在t趋近与无穷时患病人数是无限增加的，这显然是不可能的，因为当健康人数减少时，单位时间内新增人数肯定是会减少的。由此我们把人均分为感染者和被感染者，建立下面的SI模型。

SI模型

为了简化模型，我们做如下假设，

和指数模型一样，依旧假设区域总人口N保持不变。
把总人群分为健康者（易感染者）和已感染者，设t时刻健康者（易感染者）和已感染者占总人口比例分别为s(t)和i(t),s(t)+i(t)=1.
每个病人单位时间（每天）接触平均人数为p，称为日感染率，当接触到的人为健康者，就会将其感染为病人。
总人数保持不变，无论是健康者还是病人，都不会死亡。

模型建立

在t到和t+▲t时刻，患病人数占据总人口比例分别为i(t),i(t+▲t),所以在这▲t时间段内，新增患病人数为Ni(t+▲t)-Ni(t).

由于病人接触的人可能为病人也可能为正常人，因此1个病人单位时间内可使ps(t)个健康人变为病人，t时刻病人总数是Ni(t),那么在▲t时间新增病人数为ps(t)Ni(t)▲t.

根据上面两条得到Ni(t+▲t)-Ni(t)=ps(t)Ni(t)▲t即

令▲t趋近于0,得到

因为s(t)+i(t)=1,

设t=0时，患病比例为i（0）=i0,则SI模型为

求解方程得到解析解

i(t)是患病人数占总人数比例，很明显t趋近于无穷时患病比例趋近于1，即所有人都被感染。

SI模型虽然把人群分为了健康者和病人，优化了指数模型中病人不断增加的缺点，但是SI模型并未考虑到病人可以被治愈，因此我们建立下面的SIS模型。

SIS模型

为了简化模型，做如下假设

区域总人口不变
把总人群分为健康者（易感染者）和已感染者，设t时刻健康者（易感染者）和已感染者占总人口比例分别为s(t)和i(t),s(t)+i(t)=1.
每个病人单位时间（每天）接触平均人数为p，称为日感染率，当接触到的人为健康者，就会将其感染为病人。
病人可以被治愈，每天被治愈人数占总人口比例为u,病人被治愈后依然可以被二次感染。

模型建立

只需在SI模型基础上减去被治愈人数

解析解为

令传染强度为

得到微分方程

解析解

显然，传染强度是一个阈值

传染强度小于等于1，病人日接触率小于等于病人每日被治愈比例，即新增病人小于被治愈病人，随着时间推移，所有病人终究会被治愈。
传染强度大于于1，病人日接触率大于等于病人每日被治愈比例，即新增病人多于被治愈病人，随着时间推移，总有一定人口被感染成病人。

SIS假设病人可以被二次感染，但是现实中有例如天花，麻疹，肝炎等病毒在感染后会产生非常强的抗体，这些人不会再被感染，即不属于易感染者也不属于病人，这就需要用我们下面的SIR模型了。

SIR模型

为了简化模型，做如下假设，

把人群分为易感染者，病人，和有不会被感染的移除者（退出系统），t时刻这三种人占总人口比例为s(t),i(t),r(t)，s(t)+i(t)+r(t)=1.病人日接触率为p，日治愈率为u,总人口N保持不变。

模型建立

移出者，患者，健康者人数分别为

建立微分方程传染病预测的SIR

SIR模型是多个相互关联的系统变量之间的常微分方程组，属于典型的系统动力学模型。

如果病毒具有潜伏期，那么需要多考虑一类人为潜伏者，建立SEIR模型。

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