传染病模型（1）——SI模型及matlab详解

前言

常见的传染病模型按照具体的传染病的特点可分为 SI、SIS、SIR、SIRS、SEIR 模型。其中“S”“E”“I”“R”的现实含义如下：

S (Susceptible)，易感者，指缺乏免疫能力健康人，与感染者接触后容易受到感染；

E (Exposed)，暴露者 ，指接触过感染者但暂无传染性的人，可用于存在潜伏期的传染病；

I (Infectious)，患病者，指有传染性的病人，可以传播给 S，将其变为 E 或 I ；

R (Recovered)，康复者，指病愈后具有免疫力的人，如是终身免疫性传染病，则不可被重新变为 S 、E 或 I ，如果免疫期有限，就可以重新变为 S 类，进而被感染。

一、SI传染病模型及matlab代码

适用于只有易感者和患病者两类人群，且不会反复发作的疾病。

记总人数为N，则N=S+E+I+R，这是各类人群的数量关系，在SI模型中没有E和R，即

$N=S+I$

记i和s为易感者S和患病者I占总数N的比例， $S=N\cdot s$

易感者S和患病者I之间的关系是患病者接触易感者将易感者转化为患病者，并且易感者者越多、患病者越多，转化为患病者的人也就越多。记单个患病者每天接触 $\lambda \cdot s$ 个易感者， $\lambda$ 是接触率即单个患病者每天平均接触的易感者比例。

那么患病者每天增加的比例为

$\frac{di}{dt}= i\times\lambda \cdot s=i\times\left ( 1-i \right )\lambda$

患病者每天增加的数量为

$\frac{dI}{dt}= I\times\lambda \cdot S/N=I\times\left ( 1-I \right )\lambda/N$

这个微分方程能够求解，其原函数为

$I\left ( t \right )=\frac{N}{1+\left ( N/I_{0}-1 \right )\cdot e^{-\lambda t}}$

原函数代码为

clc;
close all;
clear all;
I=10;
N=10000;
S=N-I;
lemda=0.1;
t=1:365;
for i=1:(size(t,2)-1)I(1+i)=I(i)+I(i)*(N-I(i))*lemda/N;S(1+i)=N-I(1+i);
end
plot(t,I,t,S)
xlabel('时间')
ylabel('人数')
legend('患病者','易感者')
title('SI传染病模型')

结果为

考虑到除了求解原函数还可以采用差分代替微分的方法

结果十分接近

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