SI，SIS，SIR，SEIRD模型

因为个人工作需要系统地整理SI，SIR以及SEIR模型，故对三个模型进行原理介绍以及对比。文中关于SI，SIS，SIR的所有的截图都来自西工大肖华勇老师在慕课上的分享，原视频戳这里。SEIRD模型则来自发表在SCI上的paper，想看原文戳这里。

SI model

作为比较古早的传染病模型（不对指数模型进行介绍），SI model在假设人口总数不变（不发生迁移，出生及死亡）的情况下，将人群分为易感人群S（suspectible）和病人I（Infective），在时刻ttt下，这两类人群的占比分别为s(t)s(t)s(t)和i(t)i(t)i(t)，并假设病人每天有效接触的平均人数为λ\lambdaλ。当I类人群与S类人群进行接触，S被感染，转为I类人群。
So，每个病人每天可以感染的人数为λ⋅s(t)\lambda \cdot s(t)λ⋅s(t)，共有N⋅i(t)N \cdot i(t)N⋅i(t)个病人，故每天总感染人数为λ⋅s(t)N⋅i(t)\lambda \cdot s(t) N \cdot i(t)λ⋅s(t)N⋅i(t)

由图3可得，SI模型中新增病人数量在i=1/2i=1/2i=1/2时增速最大，带入公式（6）可得tmt_mtm为该模型适用于不可治愈传染病。

SIS model

和SI模型不同，SIS模型假设病人治好后变成健康者，健康者可以再次被感染成为病人。相比与SI模型， SIS模型增加条件为：每天被治愈的病人数占病人总数的比例为一个常数μ\muμ，称μ\muμ为日治愈率，病人治愈后仍可被感染。1μ\frac{1}{\mu}μ1为平均感染期。如μ=0.2\mu = 0.2μ=0.2时，该疾病的日治愈率为20%20 \%20%，平均感染期为5天。

得其增速曲线和函数曲线分别为

σ>1\sigma>1σ>1代表每天传染的人数大于治愈的人数，σ≤1\sigma \leq 1σ≤1则相反。SIS的模型曲线表明，当每天传染的人数大于治愈人数时（σ>1\sigma>1σ>1），不论初始状态下病人的人数是否大于1−1σ1-\frac{1}{\sigma}1−σ1，最终感染的人数都趋于定值；当σ≤1\sigma \leq 1σ≤1时，所有人都会被治愈。显而易见，σ\sigmaσ在其中起关键作用。

SIR model

SIR考虑三种人群状态：S 类人群，易感人群；I 类人群，感染者；R 类人群，康复者，指的是感染者成功治愈，有免疫力的健康者。

由该图可得，SIR模型中病人最终全被治愈/移除，健康的易感者保持大于5%5\%5%的比例。该图由matlab绘制，具体参数如下：

其中病人初始占比为0.1，易感者为0.9。
在这里要说明的是，大部分论文在使用SIR模型时，传染率和治愈率是呈1.5倍的关系，即传染率比治愈率等于1.5，而治愈率由图中的拓扑结构决定，与肖老师在PPT中所展示的图有所不同。所以大部分论文在使用SIR模型时，得出的结论是图中感染者的数量最终会达到一个稳定状态（如下图所示），即趋于定值。

SEIRD model

受新冠疫情的启发，相对于SIR模型，该模型多了潜伏期（E），死亡（D）。

参数γ\gammaγ反映了估计的病程时间,γ∈[118,15]\gamma \in [\frac{1}{18},\frac{1}{5}]γ∈[181,51]。
参数σ\sigmaσ反映了该疾病的估计潜伏期, σ∈[15,13]\sigma\in[\frac{1}{5},\frac{1}{3}]σ∈[51,31].
参数β\betaβ反映了感染者与他人互动的速率。它通常被写成β=R0γ\beta =R_0 \gammaβ=R0γ，其中R0R_0R0称为基本复制数，表示疾病的传染速度。Liu等人（2020）回顾了关于covid-19r0估计的文献，得出结论，文献中的平均和中位数估计约为3，但在最新的文献中，有人认为5.7更合理。
参数α\alphaα为infection fatality rate（IFR）死亡率，一般情况下α\alphaα是变化的，在本文中作者认为α\alphaα为定值。
参数λ\lambdaλ为真实报道中感染新冠病毒的人数占比，为定值。
模型初始化阶段为D(0)=0,R(0)=0,C(0)=0,S(0)=N−E(0)−I(0)−R(0)−D(0)=N−E(0)−I(0)D(0)=0,R(0)=0,C(0)=0,S(0)=N-E(0)-I(0)-R(0)-D(0)=N-E(0)-I(0)D(0)=0,R(0)=0,C(0)=0,S(0)=N−E(0)−I(0)−R(0)−D(0)=N−E(0)−I(0)。