偏微分方程数值求解 -- ING
偏微分方程的数值解法，本质是偏微分方程的近似求解。虽然是近似，但整个近似过程满足严格的数学要求，如稳定性、收敛性、相容性等，并非随意的近似。由于时间，精力以及个人需求，仅秉着“理解不深究”的态度，进行了简单学习，并作如下笔记。因此下面难免有不严谨的地方，甚至错误，请大家适当取舍。（如有错误，请不吝赐教）
介绍的偏微分方程数值解法：有限差分法，有限元法（主要学习有限单元法），变分法与加权余量法
有限差分法
（1）基本思想
根据偏微分的定义，利用差商值近似求解微分方程的解。
（2）常微分方程的差分格式
最常见的有Euler差分格式和Runge-Kutta格式，简单介绍如下
- Euler差分，有向前差分，向后差分，中心差分等；从几何角度，利用‘三角性面积’代替“不规则形状的真实面积”
- Runge-Kutta差分，利用两点中间的几个位置点，求这些点斜率的平均值；从几何角度，利用‘平均斜率的矩形”代替“不规则的真实面积”
- 为提高差分精度，及一些特殊要求，还有其他差分格式，如Gear方法，等
（3）偏微分方程的差分格式
偏微分方程是分类的，有椭圆形、双曲线性、抛物线形偏微分方程。不同方程有不同的差分格式，整体而言，差分格式分为显式差分和隐式差分。显示差分指根据“上一层“”推测“下一层”，逐层递推；隐式差分则需要根据求解层 “上下层” ，进行求解。此外，边界条件的网格也是重要问题。
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扩展阅读
【转】 有限差分法求解偏微分方程 https://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/53053747
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