Matlab的偏微分方程工具箱求解方法

这一节我们主要用matlab自带的偏微分方程的工具箱函数求解

一.偏微分方程组的matlab求解语句

该命令用以求解以下的PDEPDEPDE方程式：
c(x,t,u,∂u∂x)∂u∂t=x−m∂(xmf(x,t,u,∂u∂x))∂x+s(x,t,u,∂u∂x)c(x,t,u,\frac{\partial u }{\partial x})\frac{\partial u}{\partial t } = x^{-m}\frac{\partial (x^mf(x,t,u,\frac{\partial u}{\partial x}))}{\partial x }+s(x,t,u,\frac{\partial u }{\partial x}) c(x,t,u,∂x∂u)∂t∂u=x−m∂x∂(xmf(x,t,u,∂x∂u))+s(x,t,u,∂x∂u)
其中：t∈[t0,tf],x∈[a,b]t \in [t_0,t_f],x \in [a,b]t∈[t0,tf],x∈[a,b]。偏微分方程的初解：
u(x,t0)=v0(x)u(x,t_0) = v_0(x) u(x,t0)=v0(x)
边界条件为：
p(x,t,u)+q(x,t)f(x,t,u,∂u∂x)=0p(x,t,u) +q(x,t)f(x,t,u,\frac{\partial u}{\partial x}) = 0 p(x,t,u)+q(x,t)f(x,t,u,∂x∂u)=0
下面介绍求解此类方程的函数用法：
sol=pdepe(m,pdepe,icfun,bcfun,xmesh,tspan,options);sol = pdepe(m,pdepe,icfun,bcfun,xmesh,tspan,options); sol=pdepe(m,pdepe,icfun,bcfun,xmesh,tspan,options);
m:m:m:对称参数。

xmesh:xmesh:xmesh:位置向量,xmesh=[x0,x1,...xN],x0=a,xN=bxmesh = [x_0,x_1,...x_N],x_0 = a,x_N = bxmesh=[x0,x1,...xN],x0=a,xN=b。

tspan:tspan:tspan:时间变量ttt的向量，tspan=[t0,t1,...tM],t0=t0,tM=tftspan = [t_0,t_1,...t_M],t_0 = t_0,t_M = t_ftspan=[t0,t1,...tM],t0=t0,tM=tf。

pdefun:pdefun:pdefun:用户提供的pdepdepde函数文件。函数格式如下:
[c,f,s]=pdefun(x,t,u,dudx);[c,f,s] = pdefun(x,t,u,dudx); [c,f,s]=pdefun(x,t,u,dudx);
也就是说我们要自己设置相应的输出c,f,sc,f,sc,f,s，且它们都是行向量。

icfun:icfun:icfun:求解uuu的起始值，格式为u=icfun(x)u = icfun(x)u=icfun(x)。且uuu是行向量。

bcfun:bcfun:bcfun:提供边界条件函数，格式：
[pl,ql,pr,qr]=bcfun(xl,ul,xr,ur,t);[pl,ql,pr,qr] = bcfun(xl,ul,xr,ur,t); [pl,ql,pr,qr]=bcfun(xl,ul,xr,ur,t);
pl,ql:pl,ql:pl,ql:左边界ppp和qqq的行向量。pr,qr:pr,qr:pr,qr:右边界ppp和qqq的行向量。

options:options:options:求解器相关解法参数，见odesetodesetodeset。

sol:sol:sol:多维向量输出，sol(:,:,i)sol(:,:,i)sol(:,:,i)为uiu_iui的输出，而ui(j,k)=sol(j,k,i)u_i(j,k) = sol(j,k,i)ui(j,k)=sol(j,k,i)表示在t=tspan(j),x=xmesh(k)t = tspan(j),x = xmesh(k)t=tspan(j),x=xmesh(k)时候的uiu_iui的值。

要获得特定位置和时间的解用以下命令：
[uout,duoutdx]=pdeval(m,xmesh,ui,xout);[uout,duoutdx] = pdeval(m,xmesh,ui,xout); [uout,duoutdx]=pdeval(m,xmesh,ui,xout);
xmesh:[x0,x1,...xN]xmesh:[x_0,x_1,...x_N]xmesh:[x0,x1,...xN]

ui:sol(j,:,i),ui:sol(j,:,i),ui:sol(j,:,i),第iii个输出uiu_iui在时间tjt_jtj处的解。

uout:uout:uout:在指定tft_ftf下对应指定位置xoutxoutxout的值。

duoutdx:duoutdx:duoutdx:相对应的dudx\frac{du}{dx}dxdu。

二.具体的用法

1.求解以下偏微分方程(解析解为 u(x,t)=e−tsin(πx)u(x,t) = e^{-t}sin(\pi x)u(x,t)=e−tsin(πx))：
π2∂u∂t=∂2u∂x2\pi^2\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2u}{\partial x^2} π2∂t∂u=∂x2∂2u
其中x∈[0,1]x \in[0,1]x∈[0,1],满足以下条件:
u(x,0)=sin(πx)u(0,t)=0πe−t+∂u(1,t)∂x=0u(x,0) = sin(\pi x)\\ u(0,t) = 0 \\ \pi e^{-t} + \frac{\partial u(1,t)}{\partial x} = 0 u(x,0)=sin(πx)u(0,t)=0πe−t+∂x∂u(1,t)=0

solve:solve:solve:

改写以上偏微分方程到标准形式：
π2∂u∂t=x0∂∂x(x0∂u∂x)+0\pi^2 \frac{\partial u}{\partial t} = x^0\frac{\partial}{\partial x}(x^0\frac{\partial u}{\partial x}) +0 π2∂t∂u=x0∂x∂(x0∂x∂u)+0
具体的实现代码如下:

function first%计算从t:0~3的值x = linspace(0,1,20);t = linspace(0,3,60);subplot(121);sol = pdepe(0,@firstPdefun,@firstIcfun,@firstBcfun,x,t);u = surf(x,t,sol(:,:,1));title('微分方程数值解');xlabel('x');ylabel('t');zlabel('u')subplot(122);[X,T] = meshgrid(x,t);U = exp(-T).*sin(pi*X);surf(X,T,U);title('微分方程解析解');
end%方程段
function [c,f,s] = firstPdefun(x,t,u,dudx)c = pi^2;f = dudx;s = 0;
end
%起始值条件段
function u = firstIcfun(x)u = sin(pi*x);
end
%边界条件段
function [pl,ql,pr,qr] = firstBcfun(xl,ul,xr,ur,t);pl = ul;ql = 0;pr = pi*exp(-t);qr = 1;
end

对比一下发现几乎和解析解一摸一样！

2.求解以下偏微分方程的数值解：
∂u1∂t=0.024∂2u1∂x2−F(u1−u2)∂u2∂t=0.170∂2u2∂x2+F(u1−u2)F(u1−u2)=e5.73(u1−u2)−e−11.46(u1−u2)\frac{\partial u_1}{\partial t} = 0.024\frac{\partial^2u_1}{\partial x^2} - F(u_1-u_2)\\ \frac{\partial u_2}{\partial t} = 0.170\frac{\partial^2u_2}{\partial x^2} + F(u_1-u_2)\\ F(u_1-u_2) = e^{5.73(u_1-u_2)} - e^{-11.46(u_1-u_2)} ∂t∂u1=0.024∂x2∂2u1−F(u1−u2)∂t∂u2=0.170∂x2∂2u2+F(u1−u2)F(u1−u2)=e5.73(u1−u2)−e−11.46(u1−u2)
初值条件:
u1(x,0)=1u2(x,0)=0u_1(x,0) = 1\\ u_2(x,0) = 0 u1(x,0)=1u2(x,0)=0
边值条件:
∂u1(0,t)∂x=0u2(0,t)=0u1(1,t)=1∂u2(1,t)∂x=0\frac{\partial u_1(0,t)}{\partial x} = 0\\ u_2(0,t) = 0\\ u_1(1,t) = 1\\ \frac{\partial u_2(1,t)}{\partial x} = 0\\ ∂x∂u1(0,t)=0u2(0,t)=0u1(1,t)=1∂x∂u2(1,t)=0
Solve:Solve:Solve:

化简上面的偏微分方程为标准形式：
(11).∗∂∂t(u1u2)=∂∂x(0.024∂u1∂x0.170∂u2∂x)+(−F(u1−u2)F(u1−u2))\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}_.*\frac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix} u_1\\u_2 \end{pmatrix} = \frac{\partial}{\partial x}\begin{pmatrix} 0.024\frac{\partial u_1}{\partial x}\\0.170\frac{\partial u_2}{\partial x} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -F(u_1-u_2)\\F(u_1-u_2) \end{pmatrix} (11).∗∂t∂(u1u2)=∂x∂(0.024∂x∂u10.170∂x∂u2)+(−F(u1−u2)F(u1−u2))
化简左边界条件也有：
(0u2)+(10).∗(0.024∂u1∂x0.170∂u2∂x)=(00)\begin{pmatrix} 0\\u_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}_.* \begin{pmatrix} 0.024\frac{\partial u_1}{\partial x}\\0.170\frac{\partial u_2}{\partial x} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} (0u2)+(10).∗(0.024∂x∂u10.170∂x∂u2)=(00)
化简右边界条件有：
(u1−10)+(01).∗(0.024∂u1∂x0.170∂u2∂x)=(00)\begin{pmatrix} u_1-1\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}_.* \begin{pmatrix} 0.024\frac{\partial u_1}{\partial x}\\0.170\frac{\partial u_2}{\partial x} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} (u1−10)+(01).∗(0.024∂x∂u10.170∂x∂u2)=(00)
最后附上整个代码：

function second
xmesh  = linspace(0,1,20);
tspan = linspace(0,3,60);
sol = pdepe(0,@secondPdefun,@secondPdein,@secondPdebc,xmesh,tspan);
subplot(121);
surf(xmesh,tspan,sol(:,:,1));
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u(1)');
title('u(1)-x-t图像');
subplot(122);
surf(xmesh,tspan,sol(:,:,2));
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u(2)');
title('u(2)-x-t图像');
endfunction [c,f,s] = secondPdefun(x,t,u,dudx)
c = [1 1]';
f = [0.024*dudx(1) 0.170*dudx(2)]';
y = u(1) - u(2);
stemp = exp(5.73*y) - exp(-11.46*y);
s = [-stemp stemp]';
endfunction up = secondPdein(x,t,u,dudx)
up = [1 0]';
endfunction [pl ql pr qr] = secondPdebc(xl,ul,xr,ur,t)
pl = [0 ul(2)]';
ql = [1 0]';
pr = [ur(1)-1 0]';
qr = [0  1]';
end

最后的结果是：

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