非零矩阵A可以写成某个列满秩矩阵与某个行满秩矩阵的乘积

引理：设 AAA 是 m×rm\times rm×r 矩阵，则 AAA 是列满秩的充要条件为存在 m×mm\times mm×m 可逆矩阵 PPP，使 A=P(ErO),A=P\begin{pmatrix}E_r\\O\end{pmatrix},A=P(ErO),同样地，AAA 为行满秩的充要条件为存在 r×rr\times rr×r 的可逆矩阵 QQQ, 使A=Q(EmO).A=Q\begin{pmatrix}E_m&O\end{pmatrix}.A=Q(EmO).
定理：设 m×nm\times nm×n 矩阵 AAA 的秩为 rrr,则有 m×rm\times rm×r 列满秩矩阵 PPP 和r×nr\times nr×n 行满秩矩阵 QQQ 使 A=PQA=PQA=PQ

引理：设 AAA 是 m×rm\times rm×r 矩阵，则 AAA 是列满秩的充要条件为存在 m×mm\times mm×m 可逆矩阵 PPP，使 A=P(ErO),A=P\begin{pmatrix}E_r\\O\end{pmatrix},A=P(ErO),同样地，AAA 为行满秩的充要条件为存在 r×rr\times rr×r 的可逆矩阵 QQQ, 使A=Q(EmO).A=Q\begin{pmatrix}E_m&O\end{pmatrix}.A=Q(EmO).

证明： 以下只证明列满秩的情况

如果有

Am×r=P(ErO)A_{m\times r}=P\begin{pmatrix}E_r\\O\end{pmatrix}Am×r=P(ErO)

那么

rank(A)=rank(Ero)=r{\rm rank}(A)={\rm rank}\begin{pmatrix}E_r\\o\end{pmatrix}=rrank(A)=rank(Ero)=r

所以 AAA 是列满秩的。

如果 Am×rA_{m\times r}Am×r 是列满秩的，则它的标准型为

(ErO)m×r\begin{pmatrix}E_r\\O\end{pmatrix}_{m\times r}(ErO)m×r

即有 Lm×m,Qr×rL_{m\times m},Q_{r\times r}Lm×m,Qr×r,可逆,使

A=L(ErO)Q=L(ErQO)=L(QErO)=L(QOOEm−r)(ErO)\begin{aligned} A&=L\begin{pmatrix}E_r\\O\end{pmatrix}Q\\ &=L\begin{pmatrix}E_rQ\\O\end{pmatrix}\\ &=L\begin{pmatrix}QE_r\\O\end{pmatrix}\\ &=L\begin{pmatrix}Q &O\\O&E_{m-r}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_r\\O\end{pmatrix} \end{aligned}A=L(ErO)Q=L(ErQO)=L(QErO)=L(QOOEm−r)(ErO)

令 P=L(QOOEm−r)P=L\begin{pmatrix}Q &O\\O&E_{m-r}\end{pmatrix}P=L(QOOEm−r),则 PPP 即为所求.

定理：设 m×nm\times nm×n 矩阵 AAA 的秩为 rrr,则有 m×rm\times rm×r 列满秩矩阵 PPP 和r×nr\times nr×n 行满秩矩阵 QQQ 使 A=PQA=PQA=PQ

AAA 的秩为 rrr,有可逆矩阵 Pˉm×m,Qˉn×n\bar{P}_{m\times m},\bar{Q}_{n\times n}Pˉm×m,Qˉn×n,使得

A=Pˉm×m(ErOOO)m×nQˉn×n=Pˉm×m(ErO)m×r(ErO)r×nQˉn×n=Pm×rQr×n\begin{aligned}A&=\bar{P}_{m\times m}\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}_{m\times n}\bar{Q}_{n\times n}\\ &=\bar{P}_{m\times m}\begin{pmatrix}Er\\O\end{pmatrix}_{m\times r}\begin{pmatrix}E_r&O\end{pmatrix}_{r\times n}\bar{Q}_{n\times n}\\ &=P_{m\times r}Q_{r\times n}\end{aligned}A=Pˉm×m(ErOOO)m×nQˉn×n=Pˉm×m(ErO)m×r(ErO)r×nQˉn×n=Pm×rQr×n

其中

Pm×r=Pˉm×m(ErO)m×rP_{m\times r}=\bar{P}_{m\times m}\begin{pmatrix}Er\\O\end{pmatrix}_{m\times r}Pm×r=Pˉm×m(ErO)m×r

Qr×n=(ErO)r×nQˉn×nQ_{r\times n}=\begin{pmatrix}E_r&O\end{pmatrix}_{r\times n}\bar{Q}_{n\times n} Qr×n=(ErO)r×nQˉn×n

由引理，Pm×rP_{m\times r}Pm×r 列满秩，Qr×nQ_{r\times n}Qr×n 行满秩，结论得证。

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