这里是一则小广告：

关注作者请点击这里哦：zdr0

我的专栏里面不仅有学习笔记，也有一些科普文章，相信我的专栏不会让您失望哦～大家可以关注一下：数学及自然科学

-尽力写最好的讲义，尽力写最好的科普。

---

二阶系统的时域分析

二阶系统是以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。在控制工程中，不仅二阶系统的典型应用极为普遍，而且不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶系统的特性来表征。因此，着重研究二阶系统的分析和计算方法具有较大的实际意义。大家也要稳扎稳打，扎实的掌握二阶系统及其特性。

对于一个二阶系统，其标准闭环传递函数的形式为：

其对应的微分方程是：

其中：

• ：

  自然频率；

• ：

  阻尼比。

相对应的结构图如图片3.3所示：

令式

二阶系统的特征方程为：

其两个根称为闭环极点，为：

显然，二阶系统的时间相应取决于

二阶系统的单位阶跃响应

在闭环极点中，若

其中：

由于阻尼比

• 如果
  ，则特征方程有一对纯虚根，
  ，对应于
  平面虚轴上一对共轭极点，可以计算出系统的阶跃响应为等幅振荡，此时，系统相当于没有阻尼的情况；
• 如果
  ，则特征方程有一对具有负实部的共轭复根，
  ,对应于
  平面左半部的共轭复数极点，响应的阶跃响应为衰减的振荡过程，此时系统处于欠阻尼的状态；
• 如果
  则特征方程具有两个相等的负实根，
  ，对应于
  平面负实轴上两个相等的实极点，相应的阶跃响应非周期地趋于稳态输出，此时系统处于临界阻尼的情况；
• 如果
  ，则特征方程有两个不相等的负实根
  ，对应于
  平面上两个不相等的实极点，相应的阶跃响应也是非周期地趋于稳态输出，但响应速度比临界阻尼情况缓慢，因此成为过阻尼的情况。

上述各种闭环极点在

由此可见，

欠阻尼

若令

其中，

衰减系数，

阻尼振荡频率。

当

对式

其中，

式

若

自然频率。

临界阻尼

设输入信号为单位阶跃函数，则系统输出量的

对式

式

当

过阻尼

令：

则过阻尼二阶系统的输出量的

式中，

式

在控制工程中，除了那些不允许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、较快的响应速度和较短的调节时间。

为了便于说明改善系统动态性能的方法，图片3.5表示了欠阻尼二阶系统各特征参量之间的关系。

由图片3.5可见，衰减系数

故

延迟时间

在式

利用曲线拟合法，在较大的

在

式

上升时间

在式

由于

由式

峰值时间

对式

整理得：

根据峰值时间的定义，有：

式

超调量

因为超调量发生在峰值时间上，所以，将式

由于

根据超调量的定义，并考虑到

式

调节时间

上式表明，调节时间与闭环极点的实部数值成反比。闭环极点距虚轴的距离越远，系统的调节时间越短。由于阻尼比值主要根据系统超调量的要求来满足，所以调节时间主要由自然频率决定。若能保持阻尼比值不变而增大自然频率，则可以在不改变超调量的情况下缩短调节时间。

从上述各项动态性能指标的计算中可以看出，各个指标之间是相互矛盾的。比如上升时间和超调量，即响应速度和阻尼程度不能同时达到满意的结果。

过阻尼二阶系统的动态过程分析

由于过阻尼的系统的响应缓慢，故通常不希望采用过阻尼系统。但是，这并不排除在某些情况下，例如在低增益、大惯性的温度控制系统当中，需要采用过阻尼系统。

当阻尼比

延迟时间

由式

因此得到：

临界阻尼二阶系统的调节时间为：

---