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《最优控制理论与系统》-胡寿松老师-第1章-导论

第1章导论
- 1.1 引言
- 1.2 最有控制问题
- - 1.2.1 最优控制实例
  - 1.2.2 最优控制问题的基本组成
  - 1.2.3 最有控制问题的提法
- 1.3 性能指标类型

第1章导论

1.1 引言

1.2 最有控制问题

1.2.1 最优控制实例

1.2.2 最优控制问题的基本组成

（1）系统数学模型
x˙(t)=f[x(t),u(t),t],t∈[t0,tf]\dot{x}(t) = f[x(t), u(t), t],\quad t\in[t_0, t_f]x˙(t)=f[x(t),u(t),t],t∈[t0,tf]

（2）边界条件与目标集
为了确定要求的轨线 x(t)x(t)x(t)，需要确定轨线的两点边界值。
Ψ[x(tf),tf]=0\Psi[x(t_f), t_f] = 0Ψ[x(tf),tf]=0

（3）容许控制
针对控制向量而言。若控制向量变化范围受限制，则属于某一闭集，若控制向量变化范围不受限制，这一类控制则属于某一开集。

在属于闭集的控制中，控制向量 u(t)u(t)u(t) 的取值范围称为控制域，以 Ω\OmegaΩ 标志。u(t)∈Ωu(t)\in\Omegau(t)∈Ω

（4）性能指标
在控制术语中，性能指标又称为性能泛函、目标函数或代价函数。

1.2.3 最有控制问题的提法

这里对最有控制问题做了一般性的概述，使用的是数学语言。

这里有两点需要注意，就是

（1）控制不等式约束 g[x(t),u(t),t]≥0g[x(t), u(t), t] \ge 0g[x(t),u(t),t]≥0 是针对 u(t)u(t)u(t) 而言的。

（2）目标集等式约束 Ψ[x(tf),tf]=0\Psi[x(t_f), t_f] = 0Ψ[x(tf),tf]=0 是针对 x(t)x(t)x(t) 而言的。

1.3 性能指标类型

（1）积分型性能指标（拉格朗日问题 Lagrange）
J=∫t0tfL[x(t),u(t),t]dtJ = \int_{t_0}^{t_f} L[x(t), u(t), t] dtJ=∫t0tfL[x(t),u(t),t]dt

（2）末值型性能指标（迈耶尔问题 Mayer）
J=φ[x(tf),tf]J = \varphi[x(t_f), t_f]J=φ[x(tf),tf]

（3）复合型性能指标（波尔扎问题 Bolza）
J=12xT(tf)Fx(tf)+12∫t0tf[xT(t)Qx(t)+uT(t)R(t)u(t)]dtJ = \frac{1}{2} x^T(t_f) F x(t_f) + \frac{1}{2} \int_{t_0}^{t_f} [x^T(t) Q x(t) + u^T(t) R(t) u(t)] dtJ=21xT(tf)Fx(tf)+21∫t0tf[xT(t)Qx(t)+uT(t)R(t)u(t)]dt

这里，F,Q,RF,Q,RF,Q,R 均为对称半正定矩阵，而 RRR 必须为正定矩阵。

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第1章导论

1.1 引言

1.2 最有控制问题

1.2.1 最优控制实例

1.2.2 最优控制问题的基本组成

1.2.3 最有控制问题的提法

1.3 性能指标类型

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