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第5章 线性最优状态调节器

线性二次型问题的最优解具有统一的解析表达式

线性二次型最优控制的基本内容可以分为：最优状态调节、最优输出调节和最优跟踪。

可以证明，最优输出调节问题和最优跟踪问题都可以化为最优状态调节问题。

5.1 线性二次型问题

5.2 状态调节器

5.2.1 有限时间状态调节器

问题5-1

线性时变系统状态方程为
x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),x(t0)=x0\dot{x}(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t), \quad x(t_0) = x_0x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),x(t0​)=x0​

性能指标
J=12xT(tf)Fx(tf)+12∫t0tf[xT(t)Q(t)x(t)+uT(t)R(t)u(t)]dtJ = \frac{1}{2}x^T(t_f) F x(t_f) + \frac{1}{2} \int_{t_0}^{t_f} [x^T(t) Q(t) x(t) + u^T(t) R(t) u(t)] dtJ=21​xT(tf​)Fx(tf​)+21​∫t0​tf​​[xT(t)Q(t)x(t)+uT(t)R(t)u(t)]dt

（1）最优解的充分必要条件

---

定理5-1

对于最优调节器问题5-1，最优控制的充要条件是
u∗(t)=−R−1(t)BT(t)P(t)x(t)u^*(t) = -R^{-1}(t) B^T(t) P(t) x(t)u∗(t)=−R−1(t)BT(t)P(t)x(t)

最优性能指标为
J∗=12xT(t0)P(t0)x(t0)J^* = \frac{1}{2} x^T(t_0) P(t_0) x(t_0)J∗=21​xT(t0​)P(t0​)x(t0​)

式中 P(t)P(t)P(t) 为对称非负矩阵，满足如下黎卡提矩阵微分方程
−P˙(t)=P(t)A(t)+AT(t)P(t)−P(t)B(t)R−1(t)BT(t)P(t)+Q(t)-\dot{P}(t) = P(t) A(t) + A^T(t) P(t) - P(t) B(t) R^{-1}(t) B^T(t) P(t) + Q(t)−P˙(t)=P(t)A(t)+AT(t)P(t)−P(t)B(t)R−1(t)BT(t)P(t)+Q(t)

边界条件为
P(tf)=FP(t_f) = FP(tf​)=F

最优轨线 x∗(t)x^*(t)x∗(t) 是下列线性向量微分方程的解
x˙(t)=[A(t)−B(t)R−1(t)BT(t)P(t)]x(t),x(t0)=x0\dot{x}(t) = [A(t) - B(t) R^{-1}(t) B^T(t) P(t)] x(t), \quad x(t_0)=x_0x˙(t)=[A(t)−B(t)R−1(t)BT(t)P(t)]x(t),x(t0​)=x0​

---

（2）黎卡提方程解的若干性质

（3）最优控制解的存在性与唯一性

---

定理5-2

对于最优调节器问题5-1，若 tft_ftf​ 有限，则定理5-1给出的最优控制 u∗(t)u^*(t)u∗(t) 存在且唯一。

---

5.2.2 无限时间状态调节器

（1）无限时间时变状态调节器

问题5-2

线性时变系统状态方程为
x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),x(t0)=x0\dot{x}(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t), \quad x(t_0) = x_0x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),x(t0​)=x0​

性能指标
J=12∫t0∞[xT(t)Q(t)x(t)+uT(t)R(t)u(t)]dtJ = \frac{1}{2} \int_{t_0}^{\infty} [x^T(t) Q(t) x(t) + u^T(t) R(t) u(t)] dtJ=21​∫t0​∞​[xT(t)Q(t)x(t)+uT(t)R(t)u(t)]dt

---

定理5-3

对于无限时间时变状态调节器问题5-2，若阵对 {A(t),B(t)}\{A(t), B(t)\}{A(t),B(t)} 完全可控，则存在唯一的最优控制
u∗(t)=−R−1(t)BT(t)Pˉ(t)x(t)u^*(t) = -R^{-1}(t) B^T(t) \bar{P}(t) x(t)u∗(t)=−R−1(t)BT(t)Pˉ(t)x(t)

最优性能指标为
J∗=12xT(t0)Pˉ(t0)x(t0)J^* = \frac{1}{2} x^T(t_0) \bar{P}(t_0) x(t_0)J∗=21​xT(t0​)Pˉ(t0​)x(t0​)

式中 Pˉ(t)=lim⁡tf→∞P(t)\bar{P}(t)=\lim_{t_f\rightarrow\infty} P(t)Pˉ(t)=tf​→∞lim​P(t)

是对称非负的，而 P(t)P(t)P(t) 是如下黎卡提方程
−P˙(t)=P(t)A(t)+AT(t)P(t)−P(t)B(t)R−1(t)BT(t)P(t)+Q(t)-\dot{P}(t) = P(t)A(t) + A^T(t) P(t)-P(t)B(t)R^{-1}(t)B^T(t)P(t) + Q(t)−P˙(t)=P(t)A(t)+AT(t)P(t)−P(t)B(t)R−1(t)BT(t)P(t)+Q(t)

及其边界条件
P(tf)=0P(t_f) = 0P(tf​)=0

的唯一解。

---

（2）无限时间定常状态调节器

问题5-3

线性定常系统状态方程为
x˙(t)=Ax(t)+Bu(t),x(0)=x0\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t), \quad x(0) = x_0x˙(t)=Ax(t)+Bu(t),x(0)=x0​

性能指标
J=12∫0∞[xT(t)Qx(t)+uT(t)Ru(t)]dtJ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} [x^T(t) Q x(t) + u^T(t) R u(t)] dtJ=21​∫0∞​[xT(t)Qx(t)+uT(t)Ru(t)]dt

---

定理5-4

---

5.2.3 最优调节系统的渐进稳定性

闭环系统
x˙(t)=(A−BR−1BTPˉ)x(t),x(0)=x0\dot{x}(t) = (A - B R^{-1} B^T \bar{P}) x(t), \quad x(0) = x_0x˙(t)=(A−BR−1BTPˉ)x(t),x(0)=x0​

为渐进稳定的最优调节系统，xT(t)Pˉx(t)x^T(t) \bar{P} x(t)xT(t)Pˉx(t) 为一个李雅普诺夫函数。

5.3 具有给定稳定度的状态调节器

5.4 逆最优调节器

5.5 离散状态调节器

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