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1.树

1.1树的定义

在计算机科学中，树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 每个节点都只有有限个子节点或无子节点；
• 没有父节点的节点称为根节点；
• 每一个非根节点有且只有一个父节点；
• 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；
• 树里面没有环路(cycle)

1.2常见术语

1. 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
2. 树的度：一棵树中，最大的节点度称为树的度；
3. 叶节点或终端节点：度为零的节点；
4. 非终端节点或分支节点：度不为零的节点；
5. 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
6. 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
7. 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
8. 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
9. 深度：对于任意节点n,n的深度为从根到n的唯一路径长，根的深度为0；
10. 高度：对于任意节点n,n的高度为从n到一片树叶的最长路径长，所有树叶的高度为0；
11. 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
12. 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
13. 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
14. 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3树的种类

• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；

• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；

  • 二叉树

    ：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；

    • 完全二叉树

      ：对于一颗二叉树，假设其深度为d（d>1）。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树；

      • 满二叉树：所有叶节点都在最底层的完全二叉树；

    • 平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；

    • 排序二叉树(二叉查找树（英语：Binary Search Tree))：也称二叉搜索树、有序二叉树；

  • 霍夫曼树：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；

  • B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多于两个子树。

1.4树的存储结构

1.儿子-兄弟表示法

2.还有一种静态写法，数据域保留，指针域存放其所有子节点的地址（比如开一个数组，存放所有子节点的地址，有点类似于静态链表）

struct node{typename data;//数据域vector child;//指针域
}Node[maxn];

其对应的创建节点函数如下：

int index = 0;
int newNode(int v){Node[index].data = v;Node[index].child.clear();return index++;
}

2.二叉树

2.1二叉树的性质

性质1

在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>0)

因为一个节点度不大于2（即每个结点只能有两棵子树），如果假设这棵二叉树是一棵满二叉树，那么每个结点都有两棵子树，按每层来看的话，会发现它是首项为1，公比为2的等比数列，所以第i层最多有2^(i-1)个结点(i>0)

性质2

一棵深度为k的二叉树中，最多有2^k-1个结点

根据性质一，通过等比数列前N项和展开就可以证明出来。

性质3

具有n个结点的完全二叉树的深度k为[log2n]+1

log2n是以2为底，markdown语法只会几个常用的，将就着看。

性质4

对于一棵非空的二叉树，如果叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，
则n0 = n2+1

整棵树的结点数： n = n0+n1+n2 (n0叶子结点数，n1度为1的结点数，n2度为2的结点数)
根据节点度的定义子结点的的数量为： n0×0+n1×1+n2×2
子节点的数量为：n-1 (除根以外每个结点都是子节点)

即n-1 = n0×0+n1×1+n2×2 = n0+n1+n2-1

所以解得 n0 = n2+1

性质5

对于具有n个节点的完全二叉树，如果按照从上至下和从左至右的顺序对二叉树中所有结点进行从1的编号，则对于任意的序号为i结点，有:

• 如果i>1，则序号为i的结点的双亲结点为i/2，如果i==1，则序号为i的结点是根节点，无双亲结点
• 如果2*i<=n，则序号为i的结点的左孩子节点的序号为2*i，否则i结点无左孩子
• 如果2*i+1<=n，则序号为i的结点的右孩子节点的序号为2*i+1，否则i结点无右孩子

注意:性质1,2,4所有二叉树都通用，性质3,5只有完全二叉树适用

2.2完全二叉树

对于一颗二叉树，假设其深度为d（d>1）。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树。

1.二叉树的顺序存储结构

因为完全二叉树的这种特性，所以它也可以使用数组这种连续存储结构来实现。具体地说，如果对完全二叉树当中的任何一个节点（设编号为x），其左孩子的编号一定是2x，而右孩子的编号一定是2x+1。也就是说，可以通过建立一个大小为2^k（k为完全二叉树的最大高度）的数组来存放所有节点的信息，这样做的好处是，可以直接用数组的下标来获取指定序号的节点数据，并且可以直接计算得到左右孩子的编号。

除此之外，该数组中元素存放的顺序恰好为该完全二叉树的层序遍历序列。而判断某个节点是否为叶子节点的标志为：该节点（记下标为root）的左子节点的编号root*2大于节点总个数n

如上图举例，4为叶子节点，它的左孩子节点为2*4=8>节点总个数7

2不是叶子节点2*2=4<7

当然非完全二叉树（也就是一般的二叉树）也可以这样使用顺序存储结构来实现，但是会造成空间浪费。原理就是把空的节点补全（数据域都为空），使得一个一般二叉树变成对应的完全二叉树。

所以一般二叉树更多地使用链表来实现。

2.二叉树的链表存储结构

一般来说，二叉树采用链表来定义，和普通链表的区别是，由于二叉树每个节点有两条出边，因此指针域变成了两个——分别指向左子树根节点地址和右子树根节点地址。如果某个子树不存在，则指向NULL。其定义方式如下：

struct node{typename data; //数据域node* lchild;  //指向左子树根节点的地址node* rchild;  //指向右子树根节点的地址
}

对应的存储结构图示如下：

由于在二叉树建树前根节点不存在，因此其地址一般设置为NULL

node* root = NULL;

新建节点的代码实现如下：

node* newNode(int v){node* Node = new node;//申请一个node型变量的地址空间Node->data = v; //节点数据域Node->lchild = Node->rchild =NULL;return Node;
}

2.3二叉树的四种遍历方式

二叉树的遍历是指通过一定顺序访问二叉树的所有结点。遍历方法一般有四种：先序遍历、中序遍历、后序遍历及层次遍历。

其中，前三种一般使用深度优先搜索（DFS）实现，而层次遍历一般用广度优先搜索（BFS）实现。

把一颗二叉树分成三个部分，根节点、左子树、右子树，且对左子树和右子树同样进行这样的划分，这样对树的遍历就可以分解为对这三部分的遍历。无论是这三种遍历中的哪一种，左子树一定先于右子树遍历，且所谓的“先中后”都是指根结点root在遍历中的位置，因此先序遍历的访问顺序是根结点→左子树→右子树，中序遍历的访问顺序是左子树→根结点→右子树，后序遍历的访问顺序是左子树→右子树→根结点。

层次遍历，是把二叉树从第一层（也就是根节点）开始遍历，每一层从左到右遍历完，然后遍历下一层，直到所有节点都访问完。

1.先序遍历

递归实现

void PreorderTraversal( BinTree BT )
{if( BT ) {printf("%d ", BT->Data );PreorderTraversal( BT->Left );PreorderTraversal( BT->Right );}
}

非递归实现

void PreorderTraversal( BinTree BT ) {BinTree T = BT;Stack S = CreatStack( MaxSize );        /*创建并初始化堆栈S*/while( T || !IsEmpty(S) ) {while(T) {                          /*一直向左并将沿途结点压入堆栈*/Push(S,T);printf("%5d", T->Data);         /*（访问）打印结点*/T = T->Left;}if(!IsEmpty(S)) {T = Pop(S);                     /*结点弹出堆栈*/T = T->Right;                   /*转向右子树*/}}
}

由于先序遍历先访问根节点，因此对一棵二叉树的先序遍历序列，序列的第一个一定是根节点。

2.中序遍历

递归实现

void InorderTraversal( BinTree BT )
{if( BT ) {InorderTraversal( BT->Left );/* 此处假设对BT结点的访问就是打印数据 */printf("%d ", BT->Data); /* 假设数据为整型 */InorderTraversal( BT->Right );}
}

非递归实现思路

• 遇到一个结点，就把它压栈，并去遍历它的左子树；
• 当左子树遍历结束后，从栈顶弹出这个结点并访问它；
• 然后按其右指针再去中序遍历该结点的右子树。

void InorderTraversal( BinTree BT ) {BinTree T = BT;Stack S = CreatStack( MaxSize );        /*创建并初始化堆栈S*/while( T || !IsEmpty(S) ) {while(T) {                          /*一直向左并将沿途结点压入堆栈*/Push(S,T);T = T->Left;}if(!IsEmpty(S)) {T = Pop(S);                     /*结点弹出堆栈*/printf("%5d", T->Data);         /*（访问）打印结点*/T = T->Right;                   /*转向右子树*/}}
}

由于中序遍历总是把根节点放在左子树和右子树中间，因此只要知道根节点，就可以通过根节点在中序遍历序列中的位置区分出左子树和右子树。

3.后序遍历

递归实现

void PostorderTraversal( BinTree BT )
{if( BT ) {PostorderTraversal( BT->Left );PostorderTraversal( BT->Right );printf("%d ", BT->Data);}
}

非递归实现

void PostOrderTraversal(Bintree BT) {Bintree T = BT;Bintree LT = NULL;Stack S = CreateStack(Maxsize);while (T || !IsEmpty(S)) {while (T) {Push(S, T);T = T->left;   //转向左子树}if (!IsEmpty(S)) {T = Pop(s);if ((T-> Right== NULL)||(T->Right == LT)) {    //判断右节点为空或者右节点已经输出printf("%d", T->Data);LT = T； //记录下上一个被输出的T = NULL;} else {Push(S, T);  //第二次入栈（相当于T没有出栈）T = T->Right;  //转向右子树}}}
}

后序遍历总是把根节点放在最后访问，这和先序遍历恰好相反，因此对于后序遍历序列来说，序列的最后一个一定是根节点。

4.层序遍历

void LevelorderTraversal ( BinTree BT )
{Queue Q;BinTree T;if ( !BT ) return; /* 若是空树则直接返回 */Q = CreatQueue(); /* 创建空队列Q */AddQ( Q, BT );while ( !IsEmpty(Q) ) {T = DeleteQ( Q );printf("%d ", T->Data); /* 访问取出队列的结点 */if ( T->Left )   AddQ( Q, T->Left );if ( T->Right )  AddQ( Q, T->Right );}
}

这里的遍历就是采用的广度优先搜索的思想，可以参考另外一篇文章

注意点：队列中的元素是node*型而不是node型。队列中保存的值是原元素的一个副本，也就是说类似于值传递，而不是引用传递，所以通过存地址的方式，来达到联动修改的目的。更多的说明请参考文章

2.4遍历二叉树的应用

1.输出二叉树中的叶子结点。

void PreOrderPrintLeaves( BinTree BT ) {if( BT ) {if ( !BT-Left && !BT->Right )printf(“%d”, BT->Data );PreOrderPrintLeaves ( BT->Left );PreOrderPrintLeaves ( BT->Right );}
}

2.求二叉树的高度。

int PostOrderGetHeight( BinTree BT ) {int HL, HR, MaxH;if( BT ) {HL = PostOrderGetHeight(BT->Left); /*求左子树的深度*/HR = PostOrderGetHeight(BT->Right); /*求右子树的深度*/MaxH = （HL > HR）? HL : HR; /*取左右子树较大的深度*/return ( MaxH + 1 ); /*返回树的深度*/} else return 0; /* 空树深度为0 */
}

3.给出中序遍历和先序遍历的序列，构建完整二叉树

• 根据先序遍历序列第一个结点确定根结点；
• 根据根结点在中序遍历序列中分割出左右两个子序列;
• 对左子树和右子树分别递归使用相同的方法继续分解。

BiTNode* CreatBiTree(char *pre,char *in,int n) {if(n<=0) return NULL;BiTree bt;bt=(BiTree)malloc(sizeof(BiTree));bt->data=pre[0];char *p=strchr(in,pre[0]);int len=p-in;bt->lchild=CreatBiTree(pre+1,in,len);bt->rchild=CreatBiTree(pre+len+1,p+1,n-len-1);return bt;
}

2.5总结

结论：中序序列可以与先序序列、后序序列、层序序列中的任意一个来构建唯一的二叉树，而后三者两两搭配或是三个一起上都无法构建唯一的二叉树。原因是先序、后序、层序均是提供根节点，作用是相同的，无法唯一确定一颗二叉树，都必须由中序遍历序列来区分出左右子树。

3.二叉查找树

二叉搜索树（BST，Binary Search Tree），也称二叉排序树或二叉查找树。

二叉搜索树：一棵二叉树，可以为空；如果不为空，满足以下性质：

1. 非空左子树的所有键值小于其根结点的键值。
2. 非空右子树的所有键值大于其根结点的键值。
3. 左、右子树都是二叉搜索树。

可以理解为二叉查找树就是顺序存储结构的二分查找的另一种存储结构。

二叉查找树的常见操作集

• BinTree Find( ElementType X, BinTree BST )

  从二叉搜索树BST中查找元素X，返回其所在结点的地址；

  算法分析

  查找从根结点开始，如果树为空，返回NULL
  若搜索树非空，则根结点关键字和X进行比较，并进行不同处理：
  若X小于根结点键值，只需在左子树中继续搜索；
  如果X大于根结点的键值，在右子树中进行继续搜索；
  若两者比较结果是相等，搜索完成，返回指向此结点的指针。

  递归实现

  BinTree Find( ElementType X, BinTree BST ) {if( !BST ) return NULL; /*查找失败*/if( X > BST->Data )return Find( X, BST->Right ); /*在右子树中继续查找*/else if( X < BST->Data )return Find( X, BST->Left ); /*在左子树中继续查找*/else /* X == BST->Data */return BST; /*查找成功，返回结点的找到结点的地址*/
  }

  迭代实现

  BinTree IterFind( ElementType X, BinTree BST ) {while( BST ) {if( X > BST->Data )BST = BST->Right; /*向右子树中移动，继续查找*/else if( X < BST->Data )BST = BST->Left; /*向左子树中移动，继续查找*/else /* X == BST->Data */return BST; /*查找成功，返回结点的找到结点的地址*/}return NULL; /*查找失败*/
  }

  查找的效率取决于树的高度，让我联想到了二叉树的最大高度为log2N(以2为底，N的对数，N为二叉树的总节点个数)。

• BinTree FindMin( BinTree BST )

  从二叉搜索树BST中查找并返回最小元素所在结点的地址；

  算法分析

  最小元素一定是在树的最左分枝的端结点上

  递归实现

  BinTree FindMin( BinTree BST ) {if( !BST ) return NULL; /*空的二叉搜索树，返回NULL*/else if( !BST->Left )return BST; /*找到最左叶结点并返回*/elsereturn FindMin( BST->Left ); /*沿左分支继续查找*/
  }

  迭代实现

  BinTree FindMin( BinTree BST ) {if(BST)while( BST->Left ) BST = BST->Left;/*沿左分支继续查找，直到最左叶结点*/return BST;
  }

• BinTree FindMax( BinTree BST )

  从二叉搜索树BST中查找并返回最大元素所在结点的地址。

  算法分析

  最大元素一定是在树的最右分枝的端结点上

  递归实现

  BinTree FindMax( BinTree BST ) {if( !BST ) return NULL; /*空的二叉搜索树，返回NULL*/else if( !BST->Right )return BST; /*找到最右叶结点并返回*/elsereturn FindMin( BST->Right ); /*沿右分支继续查找*/
  }

  迭代实现

  BinTree FindMax( BinTree BST ) {if(BST )while( BST->Right ) BST = BST->Right;/*沿右分支继续查找，直到最右叶结点*/return BST;
  }

• BinTree Insert( ElementType X, BinTree BST )

  算法分析

  关键是要找到元素应该插入的位置，可以采用与Find类似的方法

  递归实现

  BinTree Insert( ElementType X, BinTree BST ) {if( !BST ) {/*若原树为空，生成并返回一个结点的二叉搜索树*/BST = malloc(sizeof(struct TreeNode));BST->Data = X;BST->Left = BST->Right = NULL;} else /*开始找要插入元素的位置*/if( X < BST->Data )BST->Left = Insert( X, BST->Left);/*递归插入左子树*/else if( X > BST->Data )BST->Right = Insert( X, BST->Right);/*递归插入右子树*//* else X已经存在，什么都不做 */return BST;
  }

  迭代实现

  BinTree Insert( ElementType X, BinTree BST ) {while( BST ) {if( X > BST->Data )BST = BST->Right; /*向右子树中移动，继续查找*/else if( X < BST->Data )BST = BST->Left; /*向左子树中移动，继续查找*/else /* X == BST->Data */return BST; /*查找成功，返回结点的找到结点的地址*/}if( !BST ) {BST = malloc(sizeof(struct TreeNode));BST->Data = X;BST->Left = BST->Right = NULL;} return BST;
  }

• BinTree Delete( ElementType X, BinTree BST )

  算法分析

  要考虑三种情况

  • 要删除的是叶结点：直接删除，并再修改其父结点指针---置为NULL
  • 要删除的结点只有一个孩子结点: 将其父结点的指针指向要删除结点的孩子结点
  • 要删除的结点有左、右两棵子树： 用另一结点替代被删除结点：右子树的最小元素 或者 左子树的最大元素

  递归实现

  BinTree Delete( ElementType X, BinTree BST ) {Position Tmp;if( !BST ) printf("要删除的元素未找到");else if( X < BST->Data )BST->Left = Delete( X, BST->Left); /* 左子树递归删除 */else if( X > BST->Data )BST->Right = Delete( X, BST->Right); /* 右子树递归删除 */else /*找到要删除的结点 */if( BST->Left && BST->Right ) { /*被删除结点有左右两个子结点 */Tmp = FindMin( BST->Right );/*在右子树中找最小的元素填充删除结点*/BST->Data = Tmp->Data;BST->Right = Delete( BST->Data, BST->Right);/*在删除结点的右子树中删除最小元素*/} else { /*被删除结点有一个或无子结点*/Tmp = BST;if( !BST->Left ) /* 有右孩子或无子结点*/BST = BST->Right;else if( !BST->Right ) /*有左孩子或无子结点*/BST = BST->Left;free( Tmp );}return BST;
  }

  迭代实现

  Status Delete(BTreePtr T, ElemType e) {BTreePtr p, pp, minP, minPP, child;child = NULL;p = T;pp = NULL;while ( (p != NULL) && (p->data != e) ) {pp = p;if (e > p->data) {p = p->rchild;} else {p = p->lchild;}}if (p == NULL) return FALSE;//双节点if ((p->lchild != NULL) && (p->rchild != NULL)){minPP = p;minP = p->rchild;while (minP->lchild != NULL) {minPP = minP;minP = minP->lchild;}p->data = minP->data;minPP->lchild = minP->rchild;free(minP);return TRUE;}//有一个节点if ((p->lchild != NULL) || (p->rchild != NULL)) { //应该将原有的pp同child连接在一起if (p->lchild) {child = p->lchild;} else {child = p->rchild;}if(pp->data>p->data){pp->lchild=child;} else{pp->rchild=child;}free(p);return TRUE;}//没有节点if (pp->lchild == p) {//这里面临pp除p以外的节点为null的情况pp->lchild = child;} else {pp->rchild = child;}return TRUE;
  }

4.平衡二叉树

平衡因子（Balance Factor，简称BF）: BF(T) = hL-hR，其中hL和hR分别为T的左、右子树的高度。

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）（AVL树）空树，或者任一结点左、右子树高度差的绝对值不超过1，即|BF(T) |≤ 1

完全二叉树、满二叉树其实都是平衡二叉树，但是非完全二叉树也有可能是平衡二叉树。

比如：

平衡二叉树的调整

typedef struct AVLNode *Position;
typedef Position AVLTree; /* AVL树类型 */
struct AVLNode{ElementType Data; /* 结点数据 */AVLTree Left;     /* 指向左子树 */AVLTree Right;    /* 指向右子树 */int Height;       /* 树高 */
};int Max ( int a, int b )
{return a > b ? a : b;
}AVLTree SingleLeftRotation ( AVLTree A )
{ /* 注意：A必须有一个左子结点B *//* 将A与B做左单旋，更新A与B的高度，返回新的根结点B */     AVLTree B = A->Left;A->Left = B->Right;B->Right = A;A->Height = Max( GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right) ) + 1;B->Height = Max( GetHeight(B->Left), A->Height ) + 1;return B;
}AVLTree DoubleLeftRightRotation ( AVLTree A )
{ /* 注意：A必须有一个左子结点B，且B必须有一个右子结点C *//* 将A、B与C做两次单旋，返回新的根结点C *//* 将B与C做右单旋，C被返回 */A->Left = SingleRightRotation(A->Left);/* 将A与C做左单旋，C被返回 */return SingleLeftRotation(A);
}/*************************************/
/* 对称的右单旋与右-左双旋请自己实现 */
/*************************************/AVLTree Insert( AVLTree T, ElementType X )
{ /* 将X插入AVL树T中，并且返回调整后的AVL树 */if ( !T ) { /* 若插入空树，则新建包含一个结点的树 */T = (AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLNode));T->Data = X;T->Height = 0;T->Left = T->Right = NULL;} /* if (插入空树) 结束 */else if ( X < T->Data ) {/* 插入T的左子树 */T->Left = Insert( T->Left, X);/* 如果需要左旋 */if ( GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right) == 2 )if ( X < T->Left->Data ) T = SingleLeftRotation(T);      /* 左单旋 */else T = DoubleLeftRightRotation(T); /* 左-右双旋 */} /* else if (插入左子树) 结束 */else if ( X > T->Data ) {/* 插入T的右子树 */T->Right = Insert( T->Right, X );/* 如果需要右旋 */if ( GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right) == -2 )if ( X > T->Right->Data ) T = SingleRightRotation(T);     /* 右单旋 */else T = DoubleRightLeftRotation(T); /* 右-左双旋 */} /* else if (插入右子树) 结束 *//* else X == T->Data，无须插入 *//* 别忘了更新树高 */T->Height = Max( GetHeight(T->Left), GetHeight(T->Right) ) + 1;return T;
}

平衡二叉查找树不仅满足上面平衡二叉树的定义，还满足二叉查找树的特点。最先被发明的平衡二叉查找树是AVL 树，它严格符合我刚讲到的平衡二叉查找树的定义，即任何节点的左右子树高度相差不超过 1，是一种高度平衡的二叉查找树。

5.堆

堆（英语：Heap）是计算机科学中的一种特别的树状数据结构。若是满足以下特性，即可称为堆：“给定堆中任意节点P和C，若P是C的母节点，那么P的值会小于等于（或大于等于）C的值”。若母节点的值恒小于等于子节点的值，此堆称为最小堆（min heap）；反之，若母节点的值恒大于等于子节点的值，此堆称为最大堆（max heap）。在堆中最顶端的那一个节点，称作根节点（root node），根节点本身没有母节点（parent node）。

堆始于J. W. J. Williams在1964年发表的堆排序（heap sort），当时他提出了二叉堆树作为此算法的数据结构。堆在戴克斯特拉算法（英语：Dijkstra's algorithm）中亦为重要的关键。

在队列中，调度程序反复提取队列中第一个作业并运行，因为实际情况中某些时间较短的任务将等待很长时间才能结束，或者某些不短小，但具有重要性的作业，同样应当具有优先权。堆即为解决此类问题设计的一种数据结构。

优先队列（Priority Queue）：特殊的“队列”，取出元素的顺序是依照元素的优先权（关键字）大小，而不是元素进入队列的先后顺序。

堆的两个特性

• 结构性：用数组表示的完全二叉树；
• 有序性：任一结点的关键字是其子树所有结点的最大值(或最小值)
  • “最大堆(MaxHeap)”,也称“大顶堆”：最大值
  • “最小堆(MinHeap)”,也称“小顶堆” ：最小值

注意：从根结点到任意结点路径上结点序列的有序性！

5.1堆的抽象数据类型描述

类型名称：最大堆（MaxHeap）

数据对象集：完全二叉树，每个结点的元素值不小于其子结点的元素值

操作集：最大堆H  MaxHeap，元素item  ElementType，主要操作有：
•MaxHeap Create( int MaxSize )：创建一个空的最大堆。
•Boolean IsFull( MaxHeap H )：判断最大堆H是否已满。
•Insert( MaxHeap H, ElementType item )：将元素item插入最大堆H。
•Boolean IsEmpty( MaxHeap H )：判断最大堆H是否为空。
•ElementType DeleteMax( MaxHeap H )：返回H中最大元素(高优先级)。

5.2最大堆的操作

1.结构体定义

typedef struct HeapStruct *MaxHeap;
struct HeapStruct {ElementType *Elements; /* 存储堆元素的数组 */int Size; /* 堆的当前元素个数 */int Capacity; /* 堆的最大容量 */
};

2.最大堆的创建

MaxHeap Create( int MaxSize ) {/* 创建容量为MaxSize的空的最大堆 */MaxHeap H = malloc( sizeof( struct HeapStruct ) );H->Elements = malloc( (MaxSize+1) * sizeof(ElementType));H->Size = 0;H->Capacity = MaxSize;H->Elements[0] = MaxData;/* 定义“哨兵”为大于堆中所有可能元素的值，便于以后更快操作 */return H;
}

3.最大堆的插入

将新增结点插入到从其父结点到根结点的有序序列中

void Insert( MaxHeap H, ElementType item ) {/* 将元素item 插入最大堆H，其中H->Elements[0]已经定义为哨兵 */int i;if ( IsFull(H) ) {printf("最大堆已满");return;}i = ++H->Size; /* i指向插入后堆中的最后一个元素的位置 */for ( ; H->Elements[i/2] < item; i/=2 )/*H->Element[ 0 ] 是哨兵元素，它不小于堆中的最大元素，控制循环结束。*/H->Elements[i] = H->Elements[i/2]; /* 向下过滤结点 */H->Elements[i] = item; /* 将item 插入 */
}

T (N) = O ( log N )

4.最大堆的删除

ElementType DeleteMax( MaxHeap H ) {/* 从最大堆H中取出键值为最大的元素，并删除一个结点 */int Parent, Child;ElementType MaxItem, temp;if ( IsEmpty(H) ) {printf("最大堆已为空");return;}MaxItem = H->Elements[1]; /* 取出根结点最大值 *//* 用最大堆中最后一个元素从根结点开始向上过滤下层结点 */temp = H->Elements[H->Size--];for( Parent=1; Parent*2<=H->Size; Parent=Child ) {Child = Parent * 2;if( (Child!= H->Size) &&(H->Elements[Child] < H->Elements[Child+1]) )Child++; /* Child指向左右子结点的较大者 */if( temp >= H->Elements[Child] ) break;else /* 移动temp元素到下一层 */H->Elements[Parent] = H->Elements[Child];}H->Elements[Parent] = temp;return MaxItem;
}

5.最大堆的建立

建立最大堆：将已经存在的N个元素按最大堆的要求存放在一个一维数组中

方法1：通过插入操作，将N个元素一个个相继插入到一个初始为空的堆中去，其时间代价最大为O(N logN)。

方法2：在线性时间复杂度下建立最大堆。
（1）将N个元素按输入顺序存入，先满足完全二叉树的结构特性
（2）调整各结点位置，以满足最大堆的有序特性。

/*----------- 建造最大堆 -----------*/
void PercDown( MaxHeap H, int p )
{ /* 下滤：将H中以H->Data[p]为根的子堆调整为最大堆 */int Parent, Child;ElementType X;X = H->Data[p]; /* 取出根结点存放的值 */for( Parent=p; Parent*2<=H->Size; Parent=Child ) {Child = Parent * 2;if( (Child!=H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child+1]) )Child++;  /* Child指向左右子结点的较大者 */if( X >= H->Data[Child] ) break; /* 找到了合适位置 */else  /* 下滤X */H->Data[Parent] = H->Data[Child];}H->Data[Parent] = X;
}void BuildHeap( MaxHeap H )
{ /* 调整H->Data[]中的元素，使满足最大堆的有序性  *//* 这里假设所有H->Size个元素已经存在H->Data[]中 */int i;/* 从最后一个结点的父节点开始，到根结点1 */for( i = H->Size/2; i>0; i-- )PercDown( H, i );
}

6.哈夫曼树&哈夫曼编码

6.1哈夫曼树的定义

带权路径长度(WPL)：设二叉树有n个叶子结点，每个叶子结点带有权值 wk，从根结点到每个叶子结点的长度为 lk，则每个叶子结点的带权路径长度之和就是：

最优二叉树或哈夫曼树: WPL最小的二叉树

6.2构造哈夫曼树

typedef struct TreeNode *HuffmanTree;
struct TreeNode {int Weight;HuffmanTree Left, Right;
}
HuffmanTree Huffman( MinHeap H ) {/* 假设H->Size个权值已经存在H->Elements[]->Weight里 */int i;HuffmanTree T;BuildMinHeap(H); /*将H->Elements[]按权值调整为最小堆*/for (i = 1; i < H->Size; i++) { /*做H->Size-1次合并*/T = malloc( sizeof( struct TreeNode) ); /*建立新结点*/T->Left = DeleteMin(H);/*从最小堆中删除一个结点，作为新T的左子结点*/T->Right = DeleteMin(H);/*从最小堆中删除一个结点，作为新T的右子结点*/T->Weight = T->Left->Weight+T->Right->Weight;/*计算新权值*/Insert( H, T ); /*将新T插入最小堆*/}T = DeleteMin(H);return T;
}

6.3哈夫曼树的特点

• 没有度为1的结点；
• 哈夫曼树的任意非叶节点的左右子树交换后仍是哈夫曼树；
• n个叶子结点的哈夫曼树共有2n-1个结点；

对同一组权值{w1 ,w2 , …… , wn}，是否存在不同构的两棵哈夫曼树呢？
对一组权值{ 1, 2 , 3, 3 }，不同构的两棵哈夫曼树：

6.4哈夫曼编码

给定一段字符串，如何对字符进行编码，可以使得该字符串的编码存储空间最少？
[例] 假设有一段文本，包含58个字符，并由以下7个字符构成：a，e，i，s，t，空格（sp），换行（nl）；这7个字符出现的次数不同。如何对这7个字符进行编码，使得总编码空间最少？
【分析】
（1）用等长ASCII编码：58 ×8 = 464位；
（2）用等长3位编码：58 ×3 = 174位；
（3）不等长编码：出现频率高的字符用的编码短些，出现频率低的字符则可以编码长些？

7.散列表

Hash算法，大家应该都了解过，本章节不展开介绍hash算法的种类或者实现，只单纯讲一下散列算法。散列表就是一种算法思想，它的本质就是利用散列表，把O(n)级别的时间复杂度操作直接编程常数级别的，是不是一听就觉得很神奇。

来看一道之前刷pat遇到的题目吧，题目比较简单，就是用到的hash散列思想。

问题：给出N个正整数，再给出M个正整数，问这M个数中的每个数分别是否在N个数中出现过，其中N,M≤10^5，且所有正整数均不超过10^5.例如N=5， M=3，N个正整数为{8,3,7,6,2}，欲查询的M个正整数为{7,4,2}，于是后者中只有7和2在N个正整数中出现过，而4是没有出现过的。
对这个问题，最直观的思路是：对每个欲查询的正整数x，遍历所有N个数，看是否有一个数与x相等。这种做法的时间复杂度为O（NM），当N和M都很大（10^5级别）时，显然是无法承受的，没错我一开始就只想到了这一种解题思路，很简单暴力，但是也很无脑耗时。

那么，一般来讲耗时长的算法，都是可以通过提高空间复杂度来减小时间复杂度的，也就是很重要很重要的空间换时间的思想。

散列表就是这种思想的最好体现，以下就是该问题的C语言实现。

#include<cstdio>
const int maxn = 10010;
bool hashTable[maxn] = {false};
int main(){int n,m,x;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i =0;i<n;i++){scanf("%d",&x);hashTable[x] = true;}for(int i=0;i<m;i++){scanf("%d",&x);if(hashTable[x]==true){printf("YES\n");}else{printf("NO\n");}}return 0;
}

Output

3 2
1 2 3
1
YES
2
YES

更多的关于散列函数以及解决散列冲突的内容请参考文章

参考资料

• https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%91_(%E6%95%B0%E6%8D%AE%E7%BB%93%E6%9E%84)
• 《算法笔记》第9章
• 中国大学MOOC——数据结构_陈越、何钦铭
• 《数据结构与算法之美》——极客时间专栏，王争