AcWing--2.01背包问题

有 NN 件物品和一个容量是 VV 的背包。每件物品只能使用一次。

第 ii 件物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 NN 行，每行两个整数 vi,wivi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤10000<N,V≤1000
0<vi,wi≤10000<vi,wi≤1000

输入样例

输出样例：

思路：

f[i][j]:表示所有选法集合中,只从前i个物品中选,并且总体积比j小的选法的集合,它的值是这个集合中每一个选法的最大值.
状态转移方程
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i])
f[i-1][j]:不选第i个物品的集合中的最大值
f[i-1][j-v[i]]+w[i]:选第i个物品的集合,但是直接求不容易求所在集合的属性,先将第i个物品的体积减去,求剩下集合中选法的最大值.
问题，例如选择物品的体积为3，那么他的上一个就得是f[i-1][j-3],加上他之后就是f[i][j]

集合如何划分

一般原则:不重不漏,不重不一定都要满足(一般求个数时要满足)

如何将现有的集合划分为更小的子集,使得所有子集都可以计算出来。

import java.util.Scanner;

public class Solution2 {
public static void main(String[] args)
{
   int m,n;
   Scanner sc = new Scanner(System.in);
   m = sc.nextInt();//物品数量
   n = sc.nextInt();//背包容量
   int i,j;
   int dp[][] = new int[m+1][n+1];
   dp[0][0]=0;
   int weight[] = new int[m+1];
   int value[] = new int[m+1];
   for(i=1;i<=m;i++)
   {
       weight[i] = sc.nextInt();
       value[i] = sc.nextInt();
   }
   for(i=1;i<=m;i++)
   {
       for(j=0;j<=n;j++)
       {
           dp[i][j] = dp[i-1][j];//不选第i个
           if(j>=weight[i])
           {
               dp[i][j]=Math.max(dp[i][j], dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
           }
       }
   }
   int max = 0;
   for(i=0;i<=n;i++)
   {
       max = Math.max(max, dp[m][i]);
   }
   System.out.println(max);
}
}
优化后的代码：dp只与前面那一行有关，与列无关，所以可以使用一维数组

import java.util.Scanner;

public class Main {
public static void main(String[] args)
{
   int m,n;
   Scanner sc = new Scanner(System.in);
   m = sc.nextInt();//物品数量
   n = sc.nextInt();//背包容量
   int i,j;
   int dp[] = new int[n+1];
   int weight[] = new int[m+1];
   int value[] = new int[m+1];
   for(i=1;i<=m;i++)
   {
       weight[i] = sc.nextInt();
       value[i] = sc.nextInt();
   }
   for(i=1;i<=m;i++)
   {
       for(j=n;j>=weight[i];j--) //从大到小枚举是因为，如果写成从小到大，那相当于是

//dp[i][j]=Math.max(dp[i][j], dp[i][j-weight[i]]+value[i]),

//例如：第一个物体体积为3，dp[3]=3，dp[6]=6,选取了两次，i=1时，dp[3~n]都应该是3，因为此时物体只有一个
{

dp[j]=Math.max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i]);
       }
   }
   int max = 0;
   for(i=0;i<=n;i++)
   {
       max = Math.max(max, dp[i]);
   }
   System.out.println(max);
}
}

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