正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3193

题目大意

求有多少个长度为nnn的字符串不包含子串sss。

解题思路

考虑dpdpdp，用fi,jf_{i,j}fi,j表示第iii个已经匹配到jjj时的方案数。

显然这与正常匹配十分相似，我们分为两种情况

ansi+1==sj+1ans_{i+1}==s_{j+1}ansi+1==sj+1那么转移到fi+1,j+1f_{i+1,j+1}fi+1,j+1
ansi+1!=sj+1ans_{i+1}!=s_{j+1}ansi+1!=sj+1，此时我们不能直接转移到fi+1,0f_{i+1,0}fi+1,0，因为有可能sss的某段前缀和ansansans的这段后缀相等，考虑KMPKMPKMP。我们用KMPKMPKMP处理出nextnextnext数组，然后往前跳到一个匹配的位置kkk那么就可以转移到fi+1,k+1f_{i+1,k+1}fi+1,k+1。

此时我们就有了一个O(nm2)O(nm^2)O(nm2)的做法，时间复杂度承担不下，我们可以发现每一次fff的转移方程都是相同的，所以我们用矩阵乘法优化就好了。

时间复杂度O(m3log⁡n)O(m^3\log n)O(m3logn)

codecodecode

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int Size=25;
struct Matrix{int a[Size][Size];
}f;
int n,m,XJQ,ans,next[Size];
char s[Size];
Matrix operator*(Matrix &a,Matrix &b){Matrix c;memset(c.a,0,sizeof(c.a));for(int i=0;i<m;i++)for(int j=0;j<m;j++)for(int k=0;k<m;k++)(c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j]%XJQ)%=XJQ;return c;
}
void KMP()
{next[0]=-1;next[1]=0;for(int i=2,j=0;i<=m;i++){while(j&&s[i]!=s[j+1]) j=next[j];j+=(s[i]==s[j+1]);next[i]=j;}return;
}
Matrix power(Matrix x,int b)
{Matrix ans=x;b--;while(b){if(b&1) ans=ans*x;x=x*x;b>>=1;}return ans;
}
int main()
{scanf("%d%d%d",&n,&m,&XJQ);scanf("%s",s+1);KMP();for(int i=0;i<=m;i++)for(int j=0;j<10;j++){int u=i;while(u&&(j+'0')!=s[u+1]) u=next[u];u+=(s[u+1]==(j+'0'));if(u==m) continue;f.a[i][u]++;}f=power(f,n);for(int i=0;i<m;i++)ans=(ans+f.a[0][i])%XJQ;printf("%d",ans);
}

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