正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6846

题目大意

给出nnn个点mmm条边的一张有向图，保证两个点之间最多只有一条边。现在你可以取反一些边使得图变为一张DAGDAGDAG，求所有方案的取反的边数和。

1≤n≤181\leq n\leq 181≤n≤18

解题思路

考虑到对于一种方案取反所有边就是另一种方案，所以每种方案的取反边数的平均值肯定是m2\frac{m}{2}2m，所以我们只需要统计方案数就好了。

然后再考虑dpdpdp，朴素的做法是O(3n)O(3^n)O(3n)的，记GSG_SGS表示集合SSS是否是独立集那么有
FS=∑T⊆S(−1)∣T∣+1FS−TGTF_S=\sum_{T\sube S}(-1)^{|T|+1}F_{S-T}G_TFS=T⊆S∑(−1)∣T∣+1FS−TGT
然后化成集合幂级数的形式就是
F=FG+1⇒F=11−GF=FG+1\Rightarrow F=\frac{1}{1-G}F=FG+1⇒F=1−G1

至于集合幂级数怎么求逆，定义占位多项式
GS,i′=∑S=0n[count(S)=i]GSG'_{S,i}=\sum_{S=0}^n[count(S)=i]G_SGS,i′=S=0∑n[count(S)=i]GS
然后对于每个GSG_SGS视为一个多项式求逆。

然后求逆可以用O(n2)O(n^2)O(n2)的反正nnn很小。

对于aaa求逆，首先有a−1[x0]=1a[x0]a^{-1}[x_0]=\frac{1}{a[x_0]}a−1[x0]=a[x0]1，然后有
∑i=0na[xi]a−1[xn−i]=0⇒a−1[xn]=∑i=0n−1a−1[xi]a[xn−i]a[x0]\sum_{i=0}^na[x^i]a^{-1}[x^{n-i}]=0\Rightarrow a^{-1}[x^n]=\frac{\sum_{i=0}^{n-1}a^{-1}[x^i]a[x^{n-i}]}{a[x^0]}i=0∑na[xi]a−1[xn−i]=0⇒a−1[xn]=a[x0]∑i=0n−1a−1[xi]a[xn−i]

这样就可以O(n2)O(n^2)O(n2)递推了。

时间复杂度：O(2nn2)O(2^nn^2)O(2nn2)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=18,P=998244353;
ll n,m,MS,c[1<<N],g[1<<N],F[N+1][1<<N],G[N+1],H[1<<N];
void FWT(ll *f,ll op){for(ll p=2;p<=MS;p<<=1)for(ll k=0,len=p>>1;k<MS;k+=p)for(ll i=k;i<k+len;i++)(f[i+len]+=f[i]*op+P)%=P;return;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1,x,y;i<=m;i++){scanf("%lld%lld",&x,&y);x--;y--;g[(1<<x)|(1<<y)]=1;}MS=(1<<n);for(ll i=0;i<n;i++)for(ll s=0;s<MS;s++)if(!((s>>i)&1))g[s^(1<<i)]|=g[s];for(ll i=1;i<MS;i++){c[i]=c[i-(i&-i)]+1;if(!g[i])F[c[i]][i]=(c[i]&1)?1:(P-1);}F[0][0]=1;for(ll i=0;i<=n;i++)FWT(F[i],1);for(ll s=0;s<MS;s++){for(ll i=0;i<=n;i++)F[i][s]=P-F[i][s];G[0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++){G[i]=0;for(ll j=1;j<=i;j++)(G[i]+=P-G[i-j]*F[j][s]%P)%=P;}H[s]=G[n];
//      printf("%lld ",G[n]);}FWT(H,-1);printf("%lld\n",(P+1)/2*H[MS-1]%P*m%P);return 0;
}

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