数学——结构、发现与思维

2016/9/18

花了一周时间看完了《数学与人类思维》，作者站在一个宏观的角度取看待数学的各个方面，这本小册子把数学这个学科以及数学家这个群体是做什么的介绍的还算清楚。值得一读的一本书。
接下来就谈谈我关于数学以及思维的一些思考（一些想法很早就有了，记录下来以免遗忘）。

一.数学的形式化与结构化

这本书的主干是对数学形式化和结构化（概念化）的探讨。形式化是建立在严格的逻辑推理和一系列基本公理的基础上，可以用机械的方法推导出数学的各个定理与结论。理论上，数学中的各个定理都可以通过形式化的方式得到，但这样必然会使得推导过程变得很长和难以理解。很少有人会喜欢这样的证明方式，我们在用勾股定理的时候没必要每次都去证明一下它的正确性。在数学的发展过程中有大量的结论（或者说正确的命题）出现，有一些结论被人们扩充到人类知识库中，而一些结论则没这么幸运。由此产生一个有趣的问题，哪些结论才会被人们记住呢，或者说数学之树的枝芽是在像什么方向伸展？数学发展到今天到底是一种必然的结果还是被历史中的一些偶然因素改变了命运的轨迹?一种观点是那些有用、有趣的结论，这些结论经常被用到从而将它命名为一条定理。而有些定理并不是那么有用但依然为大家熟知，比如费马大定理，费马大定理之所以如此受大家关注主要因为这条定理如此简洁但证明并不简单。为什么简单的定理具有不简单的证明过程这一点也是很值得思考的，这里简单提一下，从信息的观点来看，是否可以把定理看作对证明过程的压缩？数学的结构化还体现在一些定义和概念上，人脑不同于计算机，人脑不善于处理冗长的信息，因此我们需要一些定义和概念来辅助我们理解，通过这些概念和定义我们能更好的理解和处理问题。其实这也是一种模块化的思维，不仅在数学，在很多领域都有这样的例子。比如软件开发，在开发软件的时候我们不用每次都从底层开始写起，有很多东西是已经封装好的直接拿来用就可以了，就像乐高一样，组装好一个小人之后就可已将他作为一个整体和别的部件进行组合。
好的概念能帮助我们更好的理解问题后解决问题，比如集合、群这些数学概念的发明，通过这些概念引入了一套理论体系，在这套理论体系的基础上我们得以更好的处理问题，而不用去管这套理论体系为什么是对的。

二.数学中定理的证明

对于数学中的一些定理我们总是希望找到简洁的证明，我们认为简洁的是美的。我们怎么知道一条定理是否存在更为简洁的证明呢？也许我们永远也无法知道，一个事实是现代数学中经常会出现极其复杂的证明，一个证明几十页也是常见的。以前经常会有人声称自己证明了费马大定理，向相关委员会的投稿也是一叠叠的，这些证明检查起来也是十分繁琐的工作。有些地方的小错误可能会导致整个证明的失败。现代数学的证明有时候也会用计算机来辅助，比如著名的四色定理。那么能否用计算机通过形式化的方式来证明定理呢，在一套公理系统与逻辑规则下，理论上将我们可以通过搜索所有的组合来找到正确的命题，但这样的复杂度是很高的，还有需要注意到有些命题是无法被证明或证伪的。

三.数学的裂缝

哥德尔不完备性定理残酷地指出了数学中的一个让人难以接受的事实，不存在完备的数学系统。我认为哥德尔不完备性定理之于数学就如海森堡不确定性原理之于物理。实际上这两条定理或原理对数学物理学家实际的工作的影响也不是特别大，但提出这两者确实是很令人震惊的。在牛顿的决定论时代，物理学家认为科学的大厦已经建成，剩下的只是一些修修补补的工作。然而不确定性原理让决定论的梦破灭了。哥德尔同样也让数学体系完备的梦破灭了，人们逐渐认识到科学的某些角落是我们永远也不发触碰到的，多么悲伤的事实啊（我忍不住发出一声感慨“哦，上帝啊，你这是在和我们开玩笑吗？”）。

四.数学创造性与思维

创造性是什么，数学中的创造性又体现在什么地方呢？在这里我非正式地将创造性定义为产生有价值或有趣的新事物的能力，那么这样数学中的创造性可以近似的看成提出有用或有趣的定理。既然将创造性定义为一种能力，我们可能会问这种能力是与生俱来的还是后天获得的呢？小时候我们应该都听过这样的故事，阿基米德在洗澡的时候发现了测物体密度的方法，牛顿被苹果砸中脑袋后发现了万有引力定律。其实这样的例子是很有误导性的，人们倾向于认为这些人天生与众不同才会有这些重的大的发现（不过可能确实是有天赋的因素）。人们可能会想为什么我洗澡的时候没有发现呢，他们把这里的因果关系弄错了，不是因为被苹果砸中导致发现万有引力定律的，在被砸中之前一些想法就在他们脑子里面酝酿了（有意识或无意识），苹果只是触发了最终结果的产生，我相信即使牛顿不被苹果砸中也会提出万有引力定律的。还有一些有趣的科学发现是在睡觉过程中产生的，比如凯库勒对苯分子环状结构的阐述。思维并不只是有意识的过程，潜意识同样可以产生思维，有意识其实只是冰山一角，大脑里进行着大量的运算，但我们意识到的只是一部分结果。这里阐述一下我对思维的理解（未必是准确的，但应该会有启发性）。先用一句话来概括：思维是一个不断涌现的过程。涌现这个词在太多地方都有出现，但我觉得用这个词语的解释性并不是太强，带有一点玄学意味。更多的是在对现象进行描述而不是解释，就好像是在说”对，思维就那么就产生了”。但由于我们对思维过程的了解本来就很局限，所以就只能用这个模糊的词语了。那么思维是怎么涌现出来的呢？抽象一点来看，大脑中包含着很多的概念和知识，这些概念知识相互交错形成一张巨大的网络，这些概念相互作用与组合形成一种浅层次的思维，这种浅层次思维再以一种类似的方式形成更高级的思维，最终传入大脑解释器的那些信息就是被我们意识到的部分，是有意识的思维。这里就粗浅的把高深莫测的涌现行为理解为是概念的相互作用与组合吧。有点偏题了，接着说一下在解决数学问题时的思维过程，遇到一个问题时，首先我们遇到的是问题的描述和一些概念，对于这些概念组合我们大脑可能会冒（涌现）出这个问题所属的类型上去，或者说定位到它所属的类型上去（但”定位”这个词有有点机械化）。举个例子，一道题中有着这样的描述“…角ABC等于角PQR…”我们很可能就把它定位到几何学的范畴或者继续细分到更小的子区域，整个呈现一种类似树状的结构，整个过程可以看成是一种启发式搜索。然后我们大脑中对几何的相关知识就冒了出来，比如“两条直线相交对顶角相等”、“同角的补角相等”等等，大脑再从这些知识中不断的尝试比较有可能解决问题的知识组合结合问题看能否将问题解决。

五.回到结构性上去

前面第一小节中提到了数学中有用的或有趣的问题在历史的河流中被沉淀下来，顺便说一下，对于任何学科我们都应该从一种发展的角度去看待，它的知识结构并不是一成不变的，大多数大学都会设置微积分、线性代数、概率论这些课程是因为这些部分在目前看来是有用的，并且被普遍认为是数学的主干知识，回到几百年前几何学可能会占据数学的主要研究领域。
数学是在发展的，但用上面提到的有用和有趣还是不足以解释数学发展的方向性问题。这里提出一个观点：特定的理论只有在特定的知识体系下才会产生，没有一些基础知识储备是很难孕育出新的思想的。我觉得比较有趣的一点是，数学学科的发展和个人思维的过程是可以类比的，只是尺度和层次上的不同，但其中蕴含这相似的组织形式（很多地方都有这样的例子，人脑与社会，生长发育与生态系统的演替，我觉得其中必然隐含着上帝的某些隐喻）。可以粗略的概括为知识的扩散，就像一滴墨水滴到水里所发生的运动一样，墨水不会突然从滴的位置瞬移到很远的地方去，知识也是这样，在建立算数基本理论之前是不会发展出微积分的，知识体系可以类比成我们的大脑，各个知识就是脑中的各种概念，知识的相互作用类似与脑中概念的相互作用，前者产生新的知识，后者孕育新的想法。所以我认为把知识体系结构发展比喻成一棵树的生长发育是在恰当不过了。但这样并不是说数学的发展像决定论那样机械的运行，其中还是会有机遇与巧合，有些东西迟迟未出现可能知识时间问题，而像牛顿、爱因斯坦这样的伟人无疑是加快了科学的发展。最后，知识就像树上的果实，你永远也不知道接下来哪条枝芽上会结出新的果实。