文章目录

写在前面
含参量积分
- 含参量正常积分
- - 定理1：积分的连续性
  - 定理2：变限积分的连续性
  - 定理3：积分可微性(换序)
  - ★\bigstar★定理4：变限积分可微性
  - 定理5：可积性
  - 定理6：可积性——累次(二次)积分换序
  - 例题
  - - 法一：直接积分
    - 法二：利用含参量积分
- 含参量反常积分
- - 定义1：含参量反常积分的一致收敛
  - 定理1：一致收敛的柯西准则
  - 定理2：含参量反常积分与函数项级数一致收敛性的关系
  - 魏尔斯特拉斯MMM判别法
  - 狄利克雷判别法
  - 阿贝尔判别法
  - 常用性质
  - - 连续性：积分与极限换序
    - - 推论
    - 可微性：求导与积分换序
    - - 推论
    - 可积性：积分之间换序
    - - xxx的取值范围推广到无限区间
- 常用的含参量积分——Euler积分简介
- - Γ\GammaΓ函数
  - - 定义
    - 性质
  - B\BetaB函数
  - - 定义
    - 性质
参考

写在前面

总结一下含参量正常积分、含参量反常积分、Euler积分，这部分内容主要为曲线积分曲面积分以及多重积分做铺垫。主要参考《数学分析(第四版)下册》(华东师范大学数学系编)。

含参量积分

φ(x)=∫cdf(x,y)dyF(x)=∫c(x)d(x)f(x,y)dy\begin{aligned} \varphi(x)&=\int_c^df(x,\,y)\mathrm{d}y\\ F(x)&=\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,\,y)\mathrm{d}y \end{aligned} φ(x)F(x)=∫cdf(x,y)dy=∫c(x)d(x)f(x,y)dy

研究上面两种类型的积分。

含参量正常积分

定理1：积分的连续性

若二元函数f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]R=[a,\,b]\times[c,\,d]R=[a,b]×[c,d]上连续，则函数
φ(x)=∫cdf(x,y)dy\varphi(x)=\int_c^df(x,\,y)\mathrm{d}y φ(x)=∫cdf(x,y)dy
在[a,b][a,\,b][a,b]上连续。

定理2：变限积分的连续性

设二元函数f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)在区域
G={(x,y)∣c(x)⩽t⩽d(x),a⩽x⩽b}G=\{(x,\,y)\big|c(x)\leqslant t \leqslant d(x),\,a\leqslant x\leqslant b\} G={(x,y)∣∣c(x)⩽t⩽d(x),a⩽x⩽b}
上连续，其中c(x),d(x)c(x),\,d(x)c(x),d(x)为[a,b][a,\,b][a,b]上的连续函数，则函数
F(x)=∫c(x)d(x)f(x,y)dyF(x)=\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,\,y)\mathrm{d}y F(x)=∫c(x)d(x)f(x,y)dy
在[a,b][a,\,b][a,b]上连续。

定理3：积分可微性(换序)

若函数f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)与其偏导数∂∂xf(x,y)\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,\,y)∂x∂f(x,y)都在矩形区域R=[a,b]×[c,d]R=[a,\,b]\times[c,\,d]R=[a,b]×[c,d]上连续，则
φ(x)=∫cdf(x,y)dy\varphi(x)=\int_c^df(x,\,y)\mathrm{d}y φ(x)=∫cdf(x,y)dy
在[a,b][a,\,b][a,b]上可微，且
ddx∫cdf(x,y)dy=∫cd∂∂xf(x,y)dy\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_c^df(x,\,y)\,\mathrm{d}y=\int_c^d\frac{\partial}{\partial x}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y dxd∫cdf(x,y)dy=∫cd∂x∂f(x,y)dy

★\bigstar★定理4：变限积分可微性

设f(x,y),fx(x,y)f(x,\,y),\,f_x(x,\,y)f(x,y),fx(x,y)在R=[a,b]×[p,q]R=[a,\,b]\times[p,\,q]R=[a,b]×[p,q]上连续，c(x),d(x)c(x),\,d(x)c(x),d(x)为定义在[a,b][a,\,b][a,b]上其值含于[p,q][p,\,q][p,q]内的可微函数，则函数
F(x)=∫c(x)d(x)f(x,y)dyF(x)=\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,\,y)\mathrm{d}y F(x)=∫c(x)d(x)f(x,y)dy
在[a,b][a,\,b][a,b]上可微，且
F′(x)=∫c(x)d(x)fx(x,y)dy+f(x,d(x))d′(x)−f(x,c(x))c′(x).F'(x)=\int_{c(x)}^{d(x)}f_x(x,\,y)\,\mathrm{d}y+f(x,\,d(x))d'(x)-f(x,\,c(x))c'(x). F′(x)=∫c(x)d(x)fx(x,y)dy+f(x,d(x))d′(x)−f(x,c(x))c′(x).

定理5：可积性

若函数f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]R=[a,\,b]\times[c,\,d]R=[a,b]×[c,d]上连续，则φ(x)\varphi(x)φ(x)和ψ(y)\psi(y)ψ(y)分别在[a,b][a,\,b][a,b]和[c,d][c,\,d][c,d]上可积。

定理6：可积性——累次(二次)积分换序

若函数f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]R=[a,\,b]\times[c,\,d]R=[a,b]×[c,d]上连续，则
∫abdx∫cdf(x,y)dy=∫cddy∫abf(x,y)dx.\int_a^b\,\mathrm{d}x\int_c^df(x,\,y)\,\mathrm{d}y=\int_c^d\,\mathrm{d}y\int_a^bf(x,\,y)\,\mathrm{d}x. ∫abdx∫cdf(x,y)dy=∫cddy∫abf(x,y)dx.

根据上面的定理，可以建立关于正常积分（区别于反常积分）的含参量积分。

例题

I=∫01ln⁡(1+x)1+x2dx.I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,\mathrm{d}x. I=∫011+x2ln(1+x)dx.

这个积分也被称为Serret积分¹，可以推广为更加一般的情况，即：

∫0aln⁡(x+a)x2+a2dx=π8aln⁡(2a2).\int_0^a\frac{\ln (x+a)}{x^2+a^2}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{8a}\ln(2a^2). ∫0ax2+a2ln(x+a)dx=8aπln(2a2).

初看此积分并不含有参量，于是自然得到法一：

法一：直接积分

注意到分母部分恰好为arctan⁡x\arctan xarctanx的导函数，于是换元，令t=arctan⁡xt=\arctan xt=arctanx, 则x=tan⁡tx=\tan tx=tant, 则有

∫01ln⁡(1+x)1+x2dx=∫0π4ln⁡(1+tan⁡t)dt=∫0π4ln⁡(cos⁡t+sin⁡tcos⁡t)dt=∫0π4ln⁡[2cos⁡(π4−t)cos⁡t]dt=∫0π4ln⁡[2cos⁡(π4−t)]dt−∫0π4ln⁡cos⁡tdt=∫0π4ln⁡(2cos⁡u)du−∫0π4ln⁡cos⁡tdt=π4ln⁡2+∫0π4ln⁡cos⁡udu−∫0π4ln⁡cos⁡tdt=π8ln⁡2\begin{aligned} \int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,\mathrm{d}x &=\int_{0}^{\frac\pi4}\ln(1+\tan t)\,\mathrm{d}{t}\\ &=\int_{0}^{\frac\pi4}\ln\bigg(\frac{\cos t+\sin t}{\cos t}\bigg)\,\mathrm{d}{t}\\ &=\int_{0}^{\frac\pi4}\ln\Bigg[\frac{\sqrt2\cos (\frac\pi4-t)}{\cos t}\Bigg]\,\mathrm{d}{t}\\ &=\int_{0}^{\frac\pi4}\ln\Bigg[\sqrt2\cos \bigg(\frac\pi4-t\bigg)\Bigg]\,\mathrm{d}{t}-\int_{0}^{\frac\pi4}\ln\cos t\,\mathrm{d}{t}\\ &=\int_{0}^{\frac\pi4}\ln\big(\sqrt2\cos u\big)\,\mathrm{d}{u}-\int_{0}^{\frac\pi4}\ln\cos t\,\mathrm{d}{t}\\ &=\frac\pi4\ln\sqrt2+\int_{0}^{\frac\pi4}\ln\cos u\,\mathrm{d}{u}-\int_{0}^{\frac\pi4}\ln\cos t\,\mathrm{d}{t}\\ &=\frac\pi8\ln2 \end{aligned} ∫011+x2ln(1+x)dx=∫04πln(1+tant)dt=∫04πln(costcost+sint)dt=∫04πln[cost2cos(4π−t)]dt=∫04πln[2cos(4π−t)]dt−∫04πlncostdt=∫04πln(2cosu)du−∫04πlncostdt=4πln2+∫04πlncosudu−∫04πlncostdt=8πln2

上面的计算步骤也可以简化，使用换元法：令u=π4−tu=\frac{\pi}{4}-tu=4π−t，于是可以得到

I=∫01ln⁡(1+x)1+x2dx=∫0π4ln⁡(1+tan⁡t)dt=∫0π4ln⁡(1+tan⁡(π4−u))du=∫0π4ln⁡(1+1−tan⁡u1+tan⁡u)dt=∫0π4ln⁡(21+tan⁡u)dt=π4ln⁡2−I\begin{aligned} I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,\mathrm{d}x &=\int_{0}^{\frac\pi4}\ln(1+\tan t)\,\mathrm{d}{t}\\ &=\int_{0}^{\frac\pi4}\ln\bigg(1+\tan(\frac\pi4-u)\bigg)\,\mathrm{d}{u}\\ &=\int_{0}^{\frac\pi4}\ln\bigg(1+\frac{1-\tan u}{1+\tan u}\bigg)\,\mathrm{d}{t}\\ &=\int_{0}^{\frac\pi4}\ln\bigg(\frac{2}{1+\tan u}\bigg)\,\mathrm{d}{t}\\ &=\frac\pi4\ln2-I \end{aligned} I=∫011+x2ln(1+x)dx=∫04πln(1+tant)dt=∫04πln(1+tan(4π−u))du=∫04πln(1+1+tanu1−tanu)dt=∫04πln(1+tanu2)dt=4πln2−I
从而I=π8ln⁡2I=\frac\pi8\ln2I=8πln2.

法二：利用含参量积分

构造含参量积分如下，该被积函数显然满足定理3的条件。
I(α)=∫01ln⁡(1+αx)1+x2dx\begin{aligned} I(\alpha)=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+\alpha x)}{1+x^2}\,\mathrm{d}x \end{aligned} I(α)=∫011+x2ln(1+αx)dx
应用定理3，对α\alphaα求导得(红色部分由待定系数法求得)
I′(α)=∫01x(1+αx)⋅(1+x2)dx=∫0111+α2(α+x1+x2−α1+αx)dx=11+α2(∫01α1+x2dx+∫01x1+x2dx−∫01α1+αxdx)=11+α2[α⋅π4+12ln⁡2−ln⁡(1+α)]\begin{aligned} I'(\alpha)&=\int_{0}^{1}\frac{x}{(1+\alpha x)\cdot(1+x^2)}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{1}\color{red} \frac1{1+\alpha^2}\bigg(\frac{\alpha+x}{1+x^2}-\frac\alpha{1+\alpha x}\bigg)\color{black}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac1{1+\alpha^2}\Bigg(\int_{0}^{1}\frac{\alpha}{1+x^2}\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x-\int_{0}^{1}\frac\alpha{1+\alpha x}\,\mathrm{d}x\Bigg)\\ &=\frac1{1+\alpha^2}\bigg[\alpha\cdot\frac\pi4+\frac12\ln2-\ln(1+\alpha)\bigg]\\ \end{aligned} I′(α)=∫01(1+αx)⋅(1+x2)xdx=∫011+α21(1+x2α+x−1+αxα)dx=1+α21(∫011+x2αdx+∫011+x2xdx−∫011+αxαdx)=1+α21[α⋅4π+21ln2−ln(1+α)]
所以
∫01I′(α)dα=I(1)−I(0)=I(1)=∫0111+α2[α⋅π4+12ln⁡2−ln⁡(1+α)]dα=π8ln⁡(1+α2)∣01+12ln⁡2arctan⁡α∣01−I(1)=π4ln⁡2−I(1)\begin{aligned} \int_0^1I'(\alpha)\mathrm{d}\alpha &=I(1)-I(0)=I(1)\\ &=\int_0^1\frac1{1+\alpha^2}\bigg[\alpha\cdot\frac\pi4+\frac12\ln2-\ln(1+\alpha)\bigg]\mathrm{d}\alpha\\ &=\frac\pi8\ln\big(1+\alpha^2\big)\bigg|_0^1+\frac12\ln2\arctan \alpha \bigg|_0^1-I(1)\\ &=\frac\pi4\ln2-I(1)\\ \end{aligned} ∫01I′(α)dα=I(1)−I(0)=I(1)=∫011+α21[α⋅4π+21ln2−ln(1+α)]dα=8πln(1+α2)∣∣∣∣01+21ln2arctanα∣∣∣∣01−I(1)=4πln2−I(1)
得到I(1)=π8ln⁡2I(1)=\frac\pi8\ln2I(1)=8πln2.

含参量反常积分

含参量反常积分需要考虑其收敛性，下面介绍一些定义与定理。

定义1：含参量反常积分的一致收敛

设函数f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)∣x∈I,c⩽y<+∞}R=\{(x,\,y)\big|x\in I,\,c\leqslant y<+\infty\}R={(x,y)∣∣x∈I,c⩽y<+∞}, 若含参量反常积分∫c+∞f(x,y)dy\int_c^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y∫c+∞f(x,y)dy与函数Φ(x)=∫c+∞f(x,y)dy\varPhi(x)=\int_c^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}yΦ(x)=∫c+∞f(x,y)dy 对∀ε>0,∃N>c\forall \,\varepsilon>0,\,\exists N>c∀ε>0,∃N>c, s.t.M>NM>NM>N时，对一切x∈[a,b]x\in[a,\,b]x∈[a,b]都有
∣∫cMf(x,y)dy−Φ(x)∣=∣∫M+∞f(x,y)dy∣<ε,\left|\int_{c}^{M}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y-\varPhi(x)\right|=\left|\int_M^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y\right|<\varepsilon, ∣∣∣∣∣∫cMf(x,y)dy−Φ(x)∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∫M+∞f(x,y)dy∣∣∣∣<ε,
则称含参量反常积分∫c+∞f(x,y)dy\int_c^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y∫c+∞f(x,y)dy在III上一致收敛于Φ(x)\varPhi(x)Φ(x), 或称含参量积分∫c+∞f(x,y)dy\int_c^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y∫c+∞f(x,y)dy在III上一致收敛。

定理1：一致收敛的柯西准则

含参量反常积分∫c+∞f(x,y)dy\int_c^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y∫c+∞f(x,y)dy在III上一致收敛⟺∀ε>0,∃M>c,s.t.A1,A2>M\,\iff\,\forall\,\varepsilon>0,\,\exists\,M>c,\,\text{s.t.}\,A_1,\,A_2>M⟺∀ε>0,∃M>c,s.t.A1,A2>M时，对一切x∈Ix\in Ix∈I, 都有
∣∫A1A2f(x,y)dy∣<ε.\left|\int_{A_1}^{A_2}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y\right|<\varepsilon. ∣∣∣∣∣∫A1A2f(x,y)dy∣∣∣∣∣<ε.
由上述定理可得：

含参量反常积分∫c+∞f(x,y)dy\int_c^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y∫c+∞f(x,y)dy在III上一致收敛⟺lim⁡A→+∞sup⁡x∈I∣∫A+∞f(x,y)dy∣=0\,\iff\,\lim\limits_{A\to+\infty}\sup\limits_{x\in I}\left|\int_A^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y\right|=0⟺A→+∞limx∈Isup∣∣∣∣∫A+∞f(x,y)dy∣∣∣∣=0.

定理2：含参量反常积分与函数项级数一致收敛性的关系

含参量反常积分∫c+∞f(x,y)dy\int_c^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y∫c+∞f(x,y)dy在III上一致收敛⟺\,\iff\,⟺对任一区域+∞+\infty+∞的递增数列{An}\{A_n\}{An}(其中A1=cA_1=cA1=c)，函数项级数
∑n=1∞∫AnAn+1f(x,y)dy=∑n=1∞un(x)\sum_{n=1}^\infty\int_{A_n}^{A_{n+1}}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y=\sum_{n=1}^\infty u_n(x) n=1∑∞∫AnAn+1f(x,y)dy=n=1∑∞un(x)
在III上一致收敛。

魏尔斯特拉斯MMM判别法

设有函数g(y)g(y)g(y)，使得
∣f(x,y)∣⩽g(y),(x,y)∈I×[c,+∞).\left|f(x,\,y)\right|\leqslant g(y),\ (x,\,y)\in I\times[c,\,+\infty). ∣f(x,y)∣⩽g(y), (x,y)∈I×[c,+∞).
若∫c+∞g(y)dy\int_c^{+\infty}g(y)\,\mathrm{d}y∫c+∞g(y)dy收敛，则∫c+∞f(x,y)dy\int_c^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y∫c+∞f(x,y)dy在III上一致收敛。

狄利克雷判别法

对一切实数N>cN>cN>c，含参量正常积分∫cNf(x,y)dy\int_c^{N}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y∫cNf(x,y)dy对参量xxx在III上一致有界，即存在M>0M>0M>0，对一切N>cN>cN>c及一切x∈Ix\in Ix∈I，都有

∣∫cNf(x,y)dy∣⩽M.\left|\int_c^{N}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y\right|\leqslant M. ∣∣∣∣∣∫cNf(x,y)dy∣∣∣∣∣⩽M.
对每个x∈Ix\in Ix∈I，函数g(x,y)g(x,\,y)g(x,y)关于yyy是单调递减且当y→+∞y\to+\inftyy→+∞时，对参量xxx，g(x,y)g(x,\,y)g(x,y)一致地收敛于000.

则含参量反常积分∫c+∞f(x,y)g(x,y)dy\int_c^{+\infty}f(x,\,y)g(x,\,y)\,\mathrm{d}y∫c+∞f(x,y)g(x,y)dy在III上一致收敛。

阿贝尔判别法

∫c+∞f(x,y)dy\int_c^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y∫c+∞f(x,y)dy在III上一致收敛.
对每个x∈Ix\in Ix∈I，函数g(x,y)g(x,\,y)g(x,y)为yyy的单调函数。且对参量xxx，g(x,y)g(x,\,y)g(x,y)在III上一致有界.

则含参量反常积分∫c+∞f(x,y)g(x,y)dy\int_c^{+\infty}f(x,\,y)g(x,\,y)\,\mathrm{d}y∫c+∞f(x,y)g(x,y)dy在III上一致收敛。

常用性质

连续性：积分与极限换序

设f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)在I×[c,+∞)I\times[c,\,+\infty)I×[c,+∞)上连续，若含参量反常积分Φ(x)=∫c+∞f(x,y)dy\varPhi(x)=\int_c^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}yΦ(x)=∫c+∞f(x,y)dy在III上一致收敛，则Φ(x)\varPhi(x)Φ(x)在[a,b][a,\,b][a,b]上连续。

推论

设f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)在I×[c,+∞)I\times[c,\,+\infty)I×[c,+∞)上连续，若含参量反常积分Φ(x)=∫c+∞f(x,y)dy\varPhi(x)=\int_c^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}yΦ(x)=∫c+∞f(x,y)dy在III上内闭一致收敛，则Φ(x)\varPhi(x)Φ(x)在[a,b][a,\,b][a,b]上连续。

可微性：求导与积分换序

设f(x,y),fx(x,y)f(x,\,y),\,f_x(x,\,y)f(x,y),fx(x,y)在I×[c,+∞]I\times[c,\,+\infty]I×[c,+∞]上连续，若Φ(x)=∫c+∞f(x,y)dy\varPhi(x)=\int_c^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}yΦ(x)=∫c+∞f(x,y)dy在III上收敛，∫c+∞fx(x,y)dy\int_c^{+\infty}f_x(x,\,y)\,\mathrm{d}y∫c+∞fx(x,y)dy在III上一致收敛，则Φ(x)\varPhi(x)Φ(x)在III上可微，且
Φ′(x)=∫c+∞fx(x,y)dy.\varPhi'(x)=\int_c^{+\infty}f_x(x,\,y)\,\mathrm{d}y. Φ′(x)=∫c+∞fx(x,y)dy.

推论

设f(x,y),fx(x,y)f(x,\,y),\,f_x(x,\,y)f(x,y),fx(x,y)在I×[c,+∞]I\times[c,\,+\infty]I×[c,+∞]上连续，若Φ(x)=∫c+∞f(x,y)dy\varPhi(x)=\int_c^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}yΦ(x)=∫c+∞f(x,y)dy在III上收敛，∫c+∞fx(x,y)dy\int_c^{+\infty}f_x(x,\,y)\,\mathrm{d}y∫c+∞fx(x,y)dy在III上内闭一致收敛，则Φ(x)\varPhi(x)Φ(x)在III上可微，且
Φ′(x)=∫c+∞fx(x,y)dy.\varPhi'(x)=\int_c^{+\infty}f_x(x,\,y)\,\mathrm{d}y. Φ′(x)=∫c+∞fx(x,y)dy.

可积性：积分之间换序

设f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)[a,\,b]\times[c,\,+\infty)[a,b]×[c,+∞)上连续，若Φ(x)=∫c+∞f(x,y)dy\varPhi(x)=\int_c^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}yΦ(x)=∫c+∞f(x,y)dy在[a,b][a,\,b][a,b]上一致收敛，则Φ(x)\varPhi(x)Φ(x)在[a,b][a,\,b][a,b]上可积，且
∫abdx∫c+∞f(x,y)dy=∫c+∞dy∫abf(x,y)dx.\int_a^b\,\mathrm{d}x\int_c^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y=\int_c^{+\infty}\,\mathrm{d}y\int_a^bf(x,\,y)\,\mathrm{d}x. ∫abdx∫c+∞f(x,y)dy=∫c+∞dy∫abf(x,y)dx.

xxx的取值范围推广到无限区间

设f(x,y)f(x,\,y)f(x,y)在[a,+∞)×[c,+∞)[a,\,+\infty)\times[c,\,+\infty)[a,+∞)×[c,+∞)上连续，若

∫c+∞f(x,y)dy\int_c^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y∫c+∞f(x,y)dy关于yyy在[c,+∞)[c,\,+\infty)[c,+∞)上内闭一致收敛，关于xxx在[a,+∞)[a,\,+\infty)[a,+∞)上内闭一致收敛.
积分
∫a+∞dx∫c+∞f(x,y)dy∫c+∞dy∫a+∞f(x,y)dx\int_a^{+\infty}\,\mathrm{d}x\int_c^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y\quad\int_c^{+\infty}\,\mathrm{d}y\int_a^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}x ∫a+∞dx∫c+∞f(x,y)dy∫c+∞dy∫a+∞f(x,y)dx
中有一个收敛.

则

∫a+∞dx∫c+∞f(x,y)dy=∫c+∞dy∫a+∞f(x,y)dx.\int_a^{+\infty}\,\mathrm{d}x\int_c^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}y=\int_c^{+\infty}\,\mathrm{d}y\int_a^{+\infty}f(x,\,y)\,\mathrm{d}x. ∫a+∞dx∫c+∞f(x,y)dy=∫c+∞dy∫a+∞f(x,y)dx.

常用的含参量积分——Euler积分简介

Euler积分有以下两种类型，其中Γ\GammaΓ函数主要用于阶乘向负实数的推广，在数论中有更广泛的应用。

通过二者的一些性质均可以使一些形式的积分求解更加方便。

Γ\GammaΓ函数

定义

Γ(s)=∫0+∞xs−1e−xdx=λs∫0+∞xs−1e−λxdx,s>0.\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=\lambda^{s}\int_0^{+\infty}x^{s-1}\mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x,\ s>0. Γ(s)=∫0+∞xs−1e−xdx=λs∫0+∞xs−1e−λxdx, s>0.

性质

Γ(s)\Gamma(s)Γ(s)在定义域s>0s>0s>0内连续可导；
满足递推关系：Γ(s+1)=sΓ(s)\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)Γ(s+1)=sΓ(s)；
Γ(n+1)=n!∫0+∞e−xdx=n!\Gamma(n+1)=n!\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=n!Γ(n+1)=n!∫0+∞e−xdx=n!；
余元公式：
Γ(s)Γ(1−s)=πsin⁡πs,0<s<1.\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s},\ 0<s<1. Γ(s)Γ(1−s)=sinπsπ, 0<s<1.
当s=12s=\frac12s=21时有Γ(12)=π\Gamma(\frac12)=\sqrt\piΓ(21)=π.

B\BetaB函数

定义

B(p,q)=∫01xp−1(1−x)q−1dx,p>0,q>0.\Beta(p,\,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,\mathrm{d}x,\ p>0,\ q>0. B(p,q)=∫01xp−1(1−x)q−1dx, p>0, q>0.

性质

B(p,q)\Beta(p,\,q)B(p,q)在定义域p>0,q>0p>0,\,q>0p>0,q>0内连续；
对称性：B(p,q)=B(q,p)\Beta(p,\,q)=\Beta(q,\,p)B(p,q)=B(q,p)；
递推公式：
B(p,q)=q−1p+q−1B(p,q−1)(p>0,q>1),B(p,q)=p−1p+q−1B(p−1,q)(p>1,q>0),B(p,q)=(p−1)(q−1)(p+q−1)(p+q−2)B(p−1,q−1)(p>1,q>1).\begin{aligned} \Beta(p,\,q)&=\frac{q-1}{p+q-1}\Beta(p,\,q-1)\quad(p>0,\,q>1),\\ \Beta(p,\,q)&=\frac{p-1}{p+q-1}\Beta(p-1,\,q)\quad(p>1,\,q>0),\\ \Beta(p,\,q)&=\frac{(p-1)(q-1)}{(p+q-1)(p+q-2)}\Beta(p-1,\,q-1)\quad(p>1,\,q>1). \end{aligned} B(p,q)B(p,q)B(p,q)=p+q−1q−1B(p,q−1)(p>0,q>1),=p+q−1p−1B(p−1,q)(p>1,q>0),=(p+q−1)(p+q−2)(p−1)(q−1)B(p−1,q−1)(p>1,q>1).
与Γ\GammaΓ函数的关系：
B(p,q)=Γ(p)Γ(q)Γ(p+q)(p>0,q>0).\Beta(p,\,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\quad(p>0,\,q>0). B(p,q)=Γ(p+q)Γ(p)Γ(q)(p>0,q>0).

参考

《Inside Interesting Integrals》（第二版）Springer出版社，pp:68-70。 ↩︎

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