[HAOI2010]订货洛谷2517 BZOJ2424

题目描述

某公司估计市场在第i个月对某产品的需求量为Ui，已知在第i月该产品的订货单价为di，上个月月底未销完的单位产品要付存贮费用m，假定第一月月初的库存量为零，第n月月底的库存量也为零，问如何安排这n个月订购计划，才能使成本最低？每月月初订购，订购后产品立即到货，进库并供应市场，于当月被售掉则不必付存贮费。假设仓库容量为S。

输入输出格式

输入格式：

第1行：n, m, S (0<=n<=50, 0<=m<=10, 0<=S<=10000)

第2行：U1 , U2 , … , Ui , … , Un (0<=Ui<=10000)

第3行：d1 , d2 , …, di , … , dn (0<=di<=100)

输出格式：

只有1行，一个整数，代表最低成本

方法一：DP

思路

读完题目，DP方程就有了 f[i][j]f[i][j]f[i][j] 表示第 iii 个月底仓库剩余 j" role="presentation" style="position: relative;">jjj 个的最优解。

显然f[i][j]=min(f[i−1][k]+(U[i]+j−k)∗d[i]+k∗m)f[i][j]=min(f[i−1][k]+(U[i]+j−k)∗d[i]+k∗m)f[i][j]=min(f[i-1][k]+(U[i]+j-k)*d[i]+k*m)

然而复杂度为 O(N∗S2)O(N∗S2)O(N*S^2)

不过，可以优化。

将式子展开。

f[i][j]=min(f[i−1][k]+U[i]∗d[i]+j∗d[i]−k∗d[i]+k∗m)f[i][j]=min(f[i−1][k]+U[i]∗d[i]+j∗d[i]−k∗d[i]+k∗m)f[i][j]=min(f[i-1][k]+U[i]*d[i]+j*d[i]-k*d[i]+k*m)

f[i][j]=min((f[i−1][k]−k∗d[i]+k∗m)+U[i]∗d[i]+j∗d[i])f[i][j]=min((f[i−1][k]−k∗d[i]+k∗m)+U[i]∗d[i]+j∗d[i])f[i][j]=min((f[i-1][k]-k*d[i]+k*m)+U[i]*d[i]+j*d[i])

观察上式，我们发现，如果可以预处理出 f[i−1][k]−k∗d[i]+k∗mf[i−1][k]−k∗d[i]+k∗mf[i-1][k]-k*d[i]+k*m 就能 O(1)O(1)O(1) 得出 f[i][j]f[i][j]f[i][j] 。

所以可以维护一个 ggg 数组，令

g[i][j]={min(f[i][j]+j∗(m−d[i+1]),g[i][j−1])(j>0)f[i][j]+j∗(m−d[i+1])(j=0)" role="presentation">g[i][j]={min(f[i][j]+j∗(m−d[i+1]),g[i][j−1])f[i][j]+j∗(m−d[i+1])(j>0)(j=0)g[i][j]={min(f[i][j]+j∗(m−d[i+1]),g[i][j−1])(j>0)f[i][j]+j∗(m−d[i+1])(j=0)

g[i][j]= \begin{cases}min(f[i][j]+j*(m-d[i+1]),g[i][j-1]) & (j>0)\\f[i][j]+j*(m-d[i+1]) & (j=0) \end{cases}
即可。

代码

#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
int N,M,S,U[55],d[55],f[55][10005],g[55][10005];
inline int read() {int ret=0,f=1;char ch=getchar();for (; !isdigit(ch); ch=getchar()) if (ch=='-') f=-f;for (; isdigit(ch); ch=getchar()) ret=ret*10+ch-48;return ret*f;
}
int main() {N=read(),M=read(),S=read();memset(f,0x3f,sizeof f),f[0][0]=0;for (int i=1; i<=N; i++) U[i]=read();for (int i=1; i<=N; i++) d[i]=read();for (int i=1; i<=N; i++)for (int j=0; j<=S; j++) {f[i][j]=min(f[i][j],g[i-1][min(S,j+U[i])]+U[i]*d[i]+j*d[i]);g[i][j]=f[i][j]+j*(M-d[i+1]);if (j) g[i][j]=min(g[i][j-1],g[i][j]);}printf("%d\n",f[N][0]);return 0;
}

方法二：费用流

思路

代码

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,INF=0x3f3f3f3f;
deque <int> Q;
bool vis[maxn];
int N,M,C,S,T,ans,son[maxn],flw[maxn],cst[maxn],nxt[maxn],lnk[maxn],dis[maxn],tot;
inline int read() {int ret=0,f=1;char ch=getchar();for (; !isdigit(ch); ch=getchar()) if (ch=='-') f=-f;for (; isdigit(ch); ch=getchar()) ret=ret*10+ch-48;return ret*f;
}
inline void add_edge(int x,int y,int f,int c) {son[tot]=y,flw[tot]=f,cst[tot]=+c,nxt[tot]=lnk[x],lnk[x]=tot++;son[tot]=x,flw[tot]=0,cst[tot]=-c,nxt[tot]=lnk[y],lnk[y]=tot++;
}
bool spfa() {memset(vis,0,sizeof vis);memset(dis,0x3f,sizeof dis),dis[T]=0,Q.push_back(T);while (!Q.empty()) {int u=Q.front();vis[u]=0,Q.pop_front();for (register int k=lnk[u]; ~k; k=nxt[k])if (flw[k^1]&&dis[son[k]]>dis[u]-cst[k]) {dis[son[k]]=dis[u]-cst[k];if (!vis[son[k]]) {vis[son[k]]=1;if (!Q.empty()&&dis[Q.front()]>dis[son[k]]) Q.push_front(son[k]);else Q.push_back(son[k]);}}}vis[T]=1;return dis[S]<INF;
}
int dfs(int x,int flow) {vis[x]=1;if (x==T||flow==0) return flow;int cnt=0;for (register int k=lnk[x]; ~k&&flow; k=nxt[k])if (!vis[son[k]]&&flw[k]&&dis[son[k]]==dis[x]-cst[k]) {int d=dfs(son[k],min(flow,flw[k]));if (d<=0) continue;cnt+=d,flow-=d,flw[k]-=d,flw[k^1]+=d,ans+=cst[k]*d;}return cnt;
}
int main() {memset(lnk,-1,sizeof lnk);N=read(),M=read(),C=read(),S=0,T=N+1;for (int i=1; i<=N; i++) add_edge(i,T,read(),0);for (int i=1; i<=N; i++) add_edge(S,i,INF,read());for (int i=1; i<N; i++) add_edge(i,i+1,C,M);while (spfa()) while (vis[T]) memset(vis,0,sizeof vis),dfs(S,INF);printf("%d\n",ans);return 0;
}