动态规划经典例题汇总 （附最全题目链接）
本文总结了《王道机试指南》中动态规划（Dynamic Programming）部分的所有例题以及分析思路、状态转移方程等。有助于完整复习动态规划全部内容。为避免大量代码和题干导致失去主线，本文只写思路，代码可在题目链接内的讨论区找到。
一.基本思想
与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解中得到原问题的解。
与分治法不同的是，分治法会使得有些子问题被重复计算多次。而动态规划的做法是将已解决子问题的答案保存下来，在需要子问题答案的时候便可直接获得，而不需要重复计算，节约效率。
二.经典题目
1. 递推求解问题
1.1斐波那契数列问题 （n阶楼梯上楼问题）
状态转移方程：dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]
2. 最大连续子序列和
2.1（一维) 最大序列和问题
2.2（二维) 最大子矩阵问题
对于二维情况，假设原二维矩阵的最大子矩阵所在的行为 i 到 j 。
- 当 i = j 时，则最大子矩阵为第 i 行的最大连续子序列和。（转化为一维）
- 当 i != j 时，现在我们已经知道最大子矩阵的行，把从第 i 行到第 j 行的所有元素相加，得到一个只有一行的一维数组，则该一维数组的连续最大和就是最大子矩阵。（同样转化为一维）
3.最长递增子序列
3.1 拦截导弹
3.2 最大上升子序列和问题
3.3 合唱队形
4.最长公共子序列
4.1 Coincidence（找两个字符串的最长公共子串）
S1[i] == S2[j]，即两个字符相同。此时必定存在一个最长公共子串以这个字符结尾。其他部分等价于S1中前 i - 1 个字符和S2中前 j - 1 个字符的最长公共子串。则这个子串的长度比dp[i-1][j-1]多1。即dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。S1[i] != S2[j]，那此时最长公共子串为S1中的前 i - 1 个字符和S2中的前 j - 1 个字符中最长公共子串长度的较大者。即dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] }。
| 状态转移方程 | 条件 |
|---|---|
| dp[ i ] [ j ] = dp[ i - 1 ] [ j - 1 ] + 1 | S1[ i ] == S2[ j ] |
| dp[ i ] [ j ] = max{ dp[ i - 1 ] [ j ], dp[ i ] [ j - 1 ] } | S1[ i ] != S2[ j ] |
但还要注意一下边界情况，当有一个字符串为空时，公共串长度必为0。即dp[i][0] == dp[0][j] == 0。
相对于暴力枚举的O(2m+n)复杂度降至了O(mn)。
5.背包问题
5.1 0-1背包 （点菜问题）
- 对于容量为j的背包，如果不放入第 i 件物品，那么这个问题就转化为将前 i - 1 个物品放入容量为j的背包的问题，即
dp[i][j] = dp[i-1][j]。 - 对于容量为j的背包，如果放入第 i 件物品，那么当前背包的容量就变成了 j - w[i] ，并得到了这个物品的价值 v[i]。那么这个问题就转化成了将当前 i - 1 个物品放入容量为 j - w[i] 的背包的问题，即
dp[i][j] = dp[i-1][ j-w[i] ] + v[i]。
6.其他问题
6.1 放苹果
链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/4f0c1e21010e4d849bde5297148e81d9?f=discussion
来源：牛客网
User: 菜鸟葫芦娃
- 设dp(m,n) 为m个苹果，n个盘子的放法数目，则先对n作讨论，
- 当n>m：必定有n-m个盘子永远空着，去掉它们对摆放苹果方法数目不产生影响。即if(n>m)
dp(m,n) = dp(m,m) - 当n <= m：不同的放法可以分成两类：
- 有至少一个盘子空着，即相当于
dp(m,n) = dp(m,n-1)。 - 所有盘子都有苹果，相当于可以从每个盘子中拿掉一个苹果，不影响不同放法的数目，即
dp(m,n) = dp(m-n,n)。
而总的放苹果的放法数目等于两者的和，即dp(m,n) = dp(m,n-1) + dp(m-n,n)。
- 有至少一个盘子空着，即相当于
#include <stdio.h>int dp(int m, int n)
{if(n==1) return 1;else if(m==0) return 1;else if(n>m) return dp(m, m);else return dp(m, n-1)+dp(m-n, n);
}int main()
{int m, n;while(scanf("%d %d", &m, &n)!=EOF){printf("%d\n", dp(m, n));}return 0;
}
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