复变函数：傅里叶变换

傅里叶级数针对周期函数，为了可以处理非周期函数，需要傅里叶变换。关于傅里叶级数的内容参见傅里叶级数

1 傅里叶级数

1.1 傅里叶级数是向量

从代数上看，傅里叶级数就是通过三角函数和常数项来叠加逼近周期为T的函数f(x)f(x)f(x)：

这一过过程，实际上是把f(x)f(x)f(x)当作了如下基的向量：

那么上面的式子就可以解读为：

以一个例子来说明，比如一个T=2πT=2\piT=2π的方波f(x)f(x)f(x)，可以粗略的写作f(x)≈1+4πsin(x)f(x)\approx1+{4\over\pi}sin(x)f(x)≈1+π4sin(x)

我们可以认为上面函数的基为{1,sin(x)}\{1,sin(x)\}{1,sin(x)}，则f(x)f(x)f(x)相当于向量(1,4π)(1,{4\over\pi})(1,π4)，画到图上如下（注意横纵坐标不是x,yx,yx,y，而是1,sin(x)）1,sin(x)）1,sin(x)）：

2.1.2 频域图

在上面的示例函数中增加几个三角函数：

此时从几何上来看，图像更为接近：

这时的基为：

对应的向量为：

六维的向量我们是没有办法通过坐标图来表示的，因此数学家使用了一个频域图来表示这个向量：

上图中的0，1，2，3，4，5分别代表了不同频率的正弦波函数，也就是之前的基：

0Hz⟺sin(0x)3Hz⟺sin(3x)⋯0Hz\iff sin(0x)\quad3Hz\iff sin(3x)\cdots0Hz⟺sin(0x)3Hz⟺sin(3x)⋯

高度则代表在这个频率上的振幅，也就是这个基上的坐标分量。

这里举的例子只有正弦函数，余弦函数其实也需要这样一个频谱图，也就是需要两个频谱图，此外还有一种结合正弦和余弦的方式，这个放在后面。

原来的曲线图就称为时域图，往往把时域图和频域图画在一起，这样才能较为完整的反映傅里叶级数。

不管是时域还是频域，其实反映的都是同一个直线，只不过一个用了函数的观点，而另一个用了向量的观点。

当习惯了频域后，再看频域图似乎就看到了傅里叶级数的展开：

2 非周期函数：

以上关于傅里叶级数的说明都是基于周期函数，假如有如下一个非周期函数，那么傅里叶级数该怎么处理？

我们可以变换一下思路，如果刚才方波的周期：
T=2π→T=∞T=2\pi\to T=\infinT=2π→T=∞
那么可以得到一个如下的函数：

在这样的思路下，就可以使用三角级数来逼近这个函数

观察下频域，对于周期为T的函数f(x)f(x)f(x),其基为：

{1,cos(2πnTx),sin(2πnTx)}\{1,cos(\frac{2\pi n}{T}x),sin(\frac{2\pi n}{T}x)\}{1,cos(T2πnx),sin(T2πnx)}

刚才举例的方波T=2πT=2\piT=2π，对应的基就为（没有余弦波）：

对应的频率就是：

按照刚才的思路，如果T不断变大，比如让T=4πT=4\piT=4π，对应的基就为（没有余弦波）：

对应的频率就为：

和刚才相比，频率更加密集

之前方波的频域图，画了前五十个频率，可以看到随着TTT不断变大，这50个频率越来越集中：

可以想象，如果真的：T=2π→T=∞T=2\pi\to T=\inftyT=2π→T=∞，这些频率就会变得稠密，直至连续，变为一条频域曲线：

傅里叶变换就是，让T=∞T=\inftyT=∞，求出上面这根频域曲线。

3 傅里叶变换

傅里叶级数是：

这里有正弦波和余弦波，画频域图不方便，通过欧拉公式，可以转变为复数形式：

其中：

复数形式也是向量，可以理解为：

只不过这里cnc_ncn是复数，不好画频域图，当周期推向无穷的时候可以得到：

f(x)=∑n=−∞∞cn⋅ei2πnxT(T=∞)⟹f(x)=∫−∞∞F(w)eiwxdwf(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_n\cdot e^{i\frac{2\pi nx}{T}}(T=\infty)\Longrightarrow f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{iwx}dwf(x)=n=−∞∑∞cn⋅eiT2πnx(T=∞)⟹f(x)=∫−∞∞F(w)eiwxdw

上面进行了一些简化，用www代表频率。(?)

其中F(w)F(w)F(w)得到的过程如下所示：

cn=1T∫x0x0+Tf(x)⋅e−i2πnxTdx(T=∞)⟹F(w)=12π∫−∞∞f(x)e−iwxdxc_n=\frac{1}{T}\int_{x_0}^{x_0+T}f(x)\cdot e^{-i\frac{2\pi nx}{T}dx}(T=\infty)\ \Longrightarrow F(w)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-iwx}dxcn=T1∫x0x0+Tf(x)⋅e−iT2πnxdx(T=∞) ⟹F(w)=2π1∫−∞∞f(x)e−iwxdx

F(w)F(w)F(w)就是傅里叶变换，得到的就是频域曲线。

下面两者称为傅里叶变换对，可以相互转换：

f(x)⟺F(w)f(x)\iff F(w)f(x)⟺F(w)

正如之前所说的，这是看待同一个数学对象的两种形式，一个是函数，一个是向量。

https://www.matongxue.com/madocs/712.html