数据结构与算法的分析 —— 渐进复杂度（三个记号）

对于某些问题，一些算法更适合于用小规模的输入，而另一些则相反。幸运的是，在评价算法运行效率时，我们往往可以忽略掉其处理小规模问题时的能力差异，转而关注其在处理大规模数据时的表现。道理是显见的，处理大规模的问题时，效率的些许差异都将对实际执行效率产生巨大的影响。这种着眼长远，更为关注时间复杂度的总体变化趋势和增长速度的策略和方法，即所谓的渐进分析（asymptomatic analysis）。

1. 大 OO 记号

出于保守的估计，我们首先关注 T(n)T(n) 的渐进上界，为此引入大 OO 记号。具体地，若存在正的常数 cc 和函数 f(n)f(n)，使得对任何 n>>2n >> 2 都有：

T(n)≤c⋅f(n)

T(n)\leq c\cdot f(n)
则可认为在 nn 足够大之后，f(n)f(n) 给出了 T(n)T(n) 增长速度的一个渐进上界，此时，记之为：

T(n)=O(f(n))

T(n)=O(f(n))
由这一定义，可导出大 OO 记号的以下性质：

（1）对于任一常数 c>0c>0，有 O(f(n))=O(c⋅f(n))O(f(n))=O(c\cdot f(n))

取 c′>cc'>c，则c⋅f(n)≤c′⋅f(n)c\cdot f(n)\leq c'\cdot f(n)
- （2）对于任意常数 a>b>0a>b>0，有 O(na+nb)=O(na)O(n^a+n^b)=O(n^a)
  
  na+nb≤2⋅nan^a+n^b\leq 2\cdot n^a
2. 大 Ω\Omega 记号

为了对算法的时间复杂度最好情况做出估计，需要借助另一个记号，如果存在正的常数 cc 和函数 g(n)g(n)，使得对于任何 n>>2n >> 2 都有：

T(n)≥c⋅g(n)

T(n)\geq c\cdot g(n)

就可以认为，在 nn 足够大之后，g(n)g(n) 给出了 T(n)T(n) 的一个渐进下界。此时我们记之为：

T(n)=Ω(g(n))

T(n)=\Omega(g(n))

与大 OO 记号恰好相反，大 Ω\Omega 是对算法执行效率的乐观估计，对于规模为 nn 的任意输入，算法的运行时间都不低于 Ω(g(n))\Omega(g(n))。

3. 大 Θ\Theta 记号

借助大 OO 记号，大 Ω\Omega 记号，可以对算法的时间复杂度做出定量的界定，亦即，从渐进的趋势看，T(n)T(n) 介于 Ω(g(n))\Omega(g(n)) 与 O(f(n))O(f(n)) 之间。若恰巧出现 g(n)=f(n)g(n)=f(n) 的情况，则可以使用另一个记号表示，如果存在正的常数 c1<c2c_1和函数 h(n)h(n)，使得对于任何 n>>2n>>2，都有，

c1⋅h(n)≤T(n)≤c2⋅h(n)

c_1\cdot h(n)\leq T(n) \leq c_2\cdot h(n)

就可以认为在 nn 足够大之后，h(n)h(n) 给出了 T(n)T(n) 的一个确界，我们记之为：

T(n)=Θ(h(n))

T(n)=\Theta(h(n))

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