积分上下限无穷_数分笔记——5种广义积分敛散性的基本方法

本文是数学分析复习系列第(3)篇文章. 上一篇文章：

Fiddie：数分笔记(2)——6种数项级数的收敛性证明的基本方法

Fiddie：数学分析复习(1)——函数项级数与广义积分计算zhuanlan.zhihu.com

参考书：裴礼文、梅加强、北大数学分析习题集.

主要的广义积分敛散性证明方法如下：

套定义验证
比较判别法、等价无穷小
Cauchy准则
Dirichlet判别法
Abel判别法

另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.

1 广义积分的定义

定义1.1[无穷积分]如果

在任意有限区间

都是Riemann可积, 且极限

存在, 则把无穷积分定义为

否则称无穷积分是发散的.

此外,

这与Cauchy主值积分不同:

广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.

定义1.2 [瑕积分]如果

在任意有限区间

都是Riemann可积, 且极限

存在, 则把瑕积分定义为

否则称无穷积分发散.

例1.1 无穷积分

当

时, 该无穷积分收敛; 当

时, 该无穷积分发散.

例1.2 瑕积分

当

时, 该瑕积分收敛; 当

时, 该瑕积分发散.

例1.3

例1.4

如果被积函数

恒大于0, 我们有如下结论.

定理1.5 设

则无穷积分

收敛当且仅当

是

的有界函数.

2 比较判别法与等价无穷小

定理2.1 设

为常数,(

这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分

收敛时, 无穷积分

也收敛. 当无穷积分

发散时, 无穷积分

发散. 瑕积分的结果类似.

在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限

存在, 则

(1) 当

时, 积分

与

同敛散.
(2) 当
时, 如果

收敛, 则

也收敛.
(3) 当
时, 如果

发散, 则

也发散.

注：对瑕积分有类似结论..

例2.2 判断积分

的敛散性.

提示：无. QED

例2.3 积分

是发散的.

证明：注意到

于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑

由于

且

则积分

与

同敛散. 则原积分是发散的. QED

例2.4 积分

是收敛的.

证明：

都是瑕点. 把积分区间拆成

与

(在

区间内, 出现瑕点的地方是

而在

区间内, 出现瑕点的地方是

没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意

而

则

收敛. 另一方面,

并注意到

则

收敛. QED

3 用Cauchy准则验证收敛性

定理3.1 [Cauchy准则]

在

上的积分收敛的充分必要条件是:

当

时,

例3.2 积分

是收敛的.

证明：我们只需要看被积函数在

的积分即可. 作变量代换

则

因此积分是收敛的. QED

注：f在

积分存在不能推出

需要添加条件. 详见第6小节.

例3.3 积分

是发散的.

证明：【方法一】只需要考虑

的一个周期. 由于

固定m, 取

则

因此原积分是发散的. QED

【方法二】(比较判别法). 由于

由例3.2, 积分

是收敛的, 但是积分

发散, 则原积分发散. QED

注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当

时, 根据幂函数

的性质, 必有

利用这个技巧可以

去掉绝对值.

4 Dirichlet判别法

定理4.1 [Dirichlet判别法]设

在

有界, 函数

在

中单调, 且

则积分

收敛.

证明：设

则

又

则

当

时,

由

积分第二中值定理, 当

时,

由Cauchy准则, 积分

收敛. QED

例4.2 积分

是收敛的.

证明：

都是瑕点.

在0处可以用等价无穷小来处理:

则积分

与

敛散性相同, 由

可知

收敛.

在

处, 可以用Dirichlet判别法. 由于积分

有界(不超过2), 而

单调递减趋于0, 则由Dirichlet判别法可知积分收敛. QED

注：当

时该积分条件收敛(取

验证, 仿照例3.3), 当

时该积分绝对收敛(直接放缩

用比较判别法即可).

例4.3

是条件收敛的.

证明：收敛性: 对

用Dirichlet判别法.

不绝对收敛: 注意到

则

取

则

. 于是(利用不等式

)

由Cauchy准则, 原积分不是绝对收敛. QED

例4.4 [裴礼文, 4.5.8题]设

在

上可微, 且

时,

单调递增趋于

则

与

均收敛.

证明：以第一个为例, 注意到

由于

单调递减趋于0, 且

有界, 由Dirichlet判别法可知积分收敛. QED

5 Abel判别法

定理5.1 [Abel判别法]如果广义积分

收敛, 函数

在

中单调有界, 则积分

收敛.

证明：设

由f积分收敛, 则

当

时

由积分第二中值定理,

由Cauchy准则, 积分

收敛. QED

注：上面证明步骤与Dirichlet判别法相似. 事实上可以直接用Dirichlet判别法推导Abel判别法:不妨设

单调且收敛于C, 则

单调趋于0. 由于广义积分

收敛, 则必然

关于

有界, 由Dirichlet判别法可知积分

收敛. 因此

收敛. QED

例5.2 设

则积分

收敛.

证明：对

用Abel判别法. (Dirichlet判别法也行, 因为

单调递减趋于0). QED

例5.3 积分

收敛.

证明：对

用Abel判别法. QED

注：由这些例子可以知道, Abel判别法与Dirichlet判别法没什么很大的不同, 所以只需要牢记Dirichlet判别法即可.

6 综合问题

例6.1 设

在

上广义可积, 若

在

中一致连续, 则

证明：(反证)若

则

(其中可以让

充分大), 使得

不妨设

由一致连续性, 对于

当

时,

因此当

时, 有:

因此

由Cauchy准则,

在

上的广义积分发散, 矛盾. QED

例6.2 设

在

中连续可导, 若

与

都收敛, 则

证明：(反证)若

则

当

时,

由于

收敛, 则对

存在充分大的

使得

则

由Cauchy准则,

发散, 矛盾. QED

例6.3 设

在

中单调递减, 且

收敛. 则

证明：

单调递减趋于0, 则

由Cauchy准则,

当

时有

因此

QED

例6.4 设

当

时单调递减趋于0, 且

收敛. 则

证明：和例6.3差不多, so easy.

例6.5 设

在

上均可积, 若

收敛, 且

证明

且

收敛.

证明：(1)(反证)若

不妨设

则

当

时,

从而

这会导致

与

收敛矛盾. 因此只能

(2)

当

时,

从而

由Cauchy准则,

收敛. QED

例6.6 [裴礼文, 4.5.9题]设

为连续实值函数, 对所有

, 有

且

证明:

提示：把积分区间拆成

例6.7 [北大, 10.1.7题]若

为周期函数,

收敛, 则

提示：无.