洛谷 P3799 妖梦拼木棒【枚举/组合数学】

题目背景
上道题中，妖梦斩了一地的木棒，现在她想要将木棒拼起来。

题目描述
有 nnn 根木棒，现在从中选 444 根，想要组成一个正三角形，问有几种选法？

答案对 109+710^9+7109+7 取模。

输入格式
第一行一个整数 nnn 。第二行 nnn 个整数，第 iii 个整数 aia_iai 代表第 iii 根木棒的长度。

输出格式
一行一个整数代表答案。

输入输出样例
输入 #1

4
1 1 2 2

输出 #1

说明/提示
数据规模与约定

对于 30%30\%30% 的数据，保证 n≤5×103n \le 5 \times 10^3n≤5×103。
对于 100%100\%100% 的数据，保证 1≤n≤1051 \leq n \le 10^51≤n≤105，0≤ai≤5×1030 \le a_i \le 5 \times 10^30≤ai≤5×103 。

解法枚举+哈希表+组合

这道题有点意思。由于要用 444 根木棒组成正三角形，就必须要有两根木棒长度相等，剩下的一边，则由 222 根长度之和等于 前 222 根相等的木棒的长度 的木棒组成。

由于木棒长度 ai≤5000a_i \le 5000ai≤5000 ，用 O(n2)O(n^2)O(n2) 的算法就能过，于是直接两重循环，暴力枚举上述两种木棒的长度，计算组合方案数并累加。

此处外层循环 cnt[]cnt[]cnt[] 数组，cnt[i]cnt[i]cnt[i] 为长度为 iii 的木棒的个数。要从 cnt[i]cnt[i]cnt[i] 根长度为 iii 的木棒中取出 222 根，即计算组合数 C(cnt[i],2)C(cnt[i], 2)C(cnt[i],2)；内层循环中，要从剩余的木棒中取出两根长度之和为 iii 的木棒，令一根长度为 jjj ，另一根长度则为 i−ji - ji−j ，为避免重复计算，设 j≤i−jj \le i - jj≤i−j 。分类讨论：

j==i−jj == i - jj==i−j 时，从长度为 jjj 的木棍中取出 222 根合为一条边，方案数为 C(cnt[j],2)C(cnt[j], 2)C(cnt[j],2) ；
j≠i−jj \ne i - jj=i−j 时，从长度为 jjj 和长度为 i−ji- ji−j 的木棍中各取出一根，方案数为 C(cnt[j],1)×C(cnt[i−j],1)C(cnt[j], 1) \times C(cnt[i - j], 1)C(cnt[j],1)×C(cnt[i−j],1)

将所有外层方案数和内层方案数的乘积汇总，就是总的方案数。不过题目中有些地方描述不清楚， aia_iai 可以为 000 ，那么可以用三根长度一样的木棍加上一根长度为零的木棍，可以组成一个正三角形吗？三根长度为零的木棍，可以组成正三角形吗？尝试提交了几次，从AC代码中发现，这些情况是不允许的：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5e3 + 10, mod = 1e9 + 7;
int n, t, cnt[maxn], maxLen = 0, ans = 0;
bool flag = true; //所有长度的木棍都是唯一的
int C(int n, int k) { //n个数中选出k个数的组合数 return (k == 1 ? n : n * (n - 1) / 2) % mod; //k要么为1,要么为2
}
int main() {scanf("%d", &n);for (int i = 0; i < n; ++i) {scanf("%d", &t);++cnt[t];if (cnt[t] > 1) flag = false;maxLen = max(maxLen, t); //最长的木棍长度 }if (flag) { printf("0"); return 0; } //所有长度的木棍都是唯一的,无法组成正三角形for (int i = 2; i <= maxLen; ++i) { //枚举外层的两根长度为i的木棍组合 if (cnt[i] <= 1) continue; //枚举内层的一根木棍长度为j,另一根长度为i-jint times = C(cnt[i], 2) % mod; for (int j = 1; j <= i / 2; ++j) { //注意避免重复计算,令j<=i-j
//          if (j == 0 && cnt[j] >= 1 && cnt[i] >= 3)
//              ans += C(cnt[i], 3) * C(cnt[j], 1);if (j == i - j && cnt[j] >= 2)ans += times * C(cnt[j], 2) % mod;else if (j != i - j && cnt[j] >= 1 && cnt[i - j] >= 1) ans += times * C(cnt[j], 1) * C(cnt[i - j], 1) % mod;ans %= mod;}}printf("%d\n", ans);return 0;
}