小凯的疑惑原题+Plus 证明

luogu上没有第2问的原题

PLUS题目：

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。

每种金币小凯都有无数个。

在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些面额他是无法准确支付的。

现在小凯想知道：

1.在无法准确支付的面额中，最贵的面额是多少金币？（原题）

2.小凯一共有多少种不能准确支付的面额？（EX）

1问证明：

法1

不妨设 a < b a < b a<b

则设面值为 a a a 的硬币使用了 x x x 枚，面值为 b b b 的硬币用了 y y y 枚，需要支付的价格为 c c c

则 a x + b y = c ax + by = c ax+by=c

则 a x ≡ c ( m o d b ) ax \equiv c \pmod{b} ax≡c(modb)

当然，请注意，对于上面两个式子，有 1 ≤ x ≤ b − 1 1 \le x \le b-1 1≤x≤b−1

显然， y ≥ 0 y \ge 0 y≥0 时， c c c 可以被表示出来

则我们取 y = − 1 y = -1 y=−1 时可以得到最大值 c = x a − b c = xa - b c=xa−b

又因为此时 x = b − 1 x = b - 1 x=b−1 时再次得到最大值 c = ( b − 1 ) a − b c = ( b - 1 ) a - b c=(b−1)a−b

则化简得 c = a b − a − b c = ab - a - b c=ab−a−b

得到结论：表示不出的最大值为 a b − a − b ab - a - b ab−a−b

法2

a x + b y = d ax + by = d ax+by=d 可写作 y = d b − a b x y = \displaystyle \frac{d}{b} - \frac{a}{b}x y=bd−bax

故可以转换为

在平面直角坐标系上找到一个一次函数。

令该一次函数为 y = m x + n y = mx + n y=mx+n

则有 m = − a b m = \displaystyle - \frac{a}{b} m=−ba，且整点不在坐标轴与1象限上。

则当 x = − 1 x = -1 x=−1 且 y = a − 1 y = a - 1 y=a−1 时，有最大解，为 a b − a − b ab - a - b ab−a−b

2问证明：

本质上而言，是第一问的这个三角形在整点上移动（因为是整数）

且保证 A点在2象限，B点在4象限，且截距（指y轴截距） > 0 > 0 >0

则讨论出一共有 ( a − 1 ) ( b − 1 ) 2 \displaystyle \frac{(a - 1)(b - 1)}{2} 2(a−1)(b−1) 种选择

故答案为 ( a − 1 ) ( b − 1 ) 2 \displaystyle \frac{(a - 1)(b - 1)}{2} 2(a−1)(b−1)

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