质数检验(埃拉托色筛选法、根号x复杂度算法)

单次复杂度为O(根号x)

一个合数(非质数)x,一定可以分解为p*q,其中p小于等于根号x,q大于等于根号x

举例:
16=2x8,2<4,8>4
8=2x4,2<3倍根号二,4>3倍根号二

通过上述性质,可以不在遍历从2~x-1,而是可以从2 ~ 根号x,这样复杂度就变为O(根号x)

为什么呢?

因为只要找到一个数的最小因数,且最小因数不为1,这样只要找到一个数也就是找到p,就可以断定这个数不是质数!

一点小优化

每次for循环遍历时,我们将i++,变为i+=2,因为只要是不为2的偶数,一定都不是质数!
(因为偶数都可以被2整除)

实现代码

#include <iostream>using namespace std;
const int maxn=1e8;
int cnt;
int isPrime(int x)
{   //特判if(x<2){return 0;}else if(x==2){return 1;}if(x%2==0) return 0;//偶数不是质素for(int i=3;i*i<=x;i+=2)//从3开始,每次+=2{if(x%i==0) return 0;}return 1;
}
int main()
{int n,x;cin>>n;//读入n个数for(int i=1;i<=n;i++){cin>>x;if(isPrime(x)) cnt++;}cout<<cnt;//输出质数个数return 0;
}

埃拉托色筛选法O(NloglogN)

埃拉托色筛选法可以帮助我们筛选出从0到n的所有质数

怎么做呢?

步骤如下

1、列举大于等于2的整数
2、留下最小的整数2,删除所有2的倍数
3、在剩下的整数中留下3,删除所有3的倍数
4、在剩下的整数中留下5,删除所有5的倍数(大于2的偶数必然不是质数,所以不用留4)
5、依次类推,留下仍未被删除的最小整数,删除该整数的倍数,直到循环结束

循环终止点为根号n

为什么是根号n?

举个例子
n=100,也就是i<=10
当i=11时,22,33,44,55,66,77,88,99都被2、3、2、5、2、7、2、3删除过了
当121时,已经大于100所以没有判断必要,我们只需要找出小于100的所有质数就可以!

复杂度

埃拉色筛选法复杂度和给出的n有关,所以它是求出n以内的所有质数的复杂度
O(根号x)是单次复杂度,如果求相同个质数,复杂度为O(n根号x)并没有埃拉托色筛选法优秀!

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
const int N=1e4;
bool pr[N];int main()
{int sqrtN=(int)sqrt(N);memset(pr,true,sizeof(pr));//埃拉托色尼筛选法p[0]=p[1]=false;for(int i=2;i<=sqrtN;i++){if(!pr[i]) continue;//倍数重合跳过for(int j=2*i;j<=N;j+=i)//遍历所有i的倍数{pr[j]=false;}}return 0;
}

线性筛O(n)

void get_prime(int n) {//线性筛vis[1]=1;//1不是质数for(int i=2; i<=n; i++) {if(!vis[i])prim[++cnt]=i;for(int j=1; 1ll*i*prim[j]<=n; j++) {//越界中断vis[prim[j]*i]=1;//删除if(i%prim[j]==0)break;//整除中断，因为后边没有可用的质数了}}
}

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