LU分解，LDLT分解，Cholesky分解

2024-05-09 07:09:21

LU分解

如果方阵是非奇异的，即的行列式不为0，LU分解总是存在的。

A=LU，将系数矩阵A转变成等价的两个矩阵L和U的乘积，其中L和U分别是下三角和上三角矩阵，而且要求L的对角元素都是1，形式如下：

本质上，LU分解是高斯消元的一种表达方式。首先，对矩阵A通过初等行变换将其变为一个上三角矩阵，然后，将原始矩阵A变为上三角矩阵的过程，对应的变换矩阵为一个下三角矩阵。

LDLT分解（LU的进一步分解）

A为对称矩阵，那么会产生A=LDLT分解

定理：若对称矩阵A的各阶顺序主子式不为零时，则A可以唯一分解为A= LDLT

证：当矩阵A的各阶顺序主子式不为零时，A有唯一的Doolittle分解A= LU，矩阵U的对角线元素Uii 不等于0，将矩阵U的每行依次提出

A= LDLT

Cholesky分解

如果A是正定矩阵，那么A可以唯一分解为 $A=LL^T$ ,

证：如果A是正定矩阵，那么A是对称的，且顺序主子式大于0，则可以唯一分解为A= LDLT

将D分解为 $\sqrt{D}\sqrt{D}$ 则

$A=LDL^T=L\sqrt{D}\sqrt{D}L^T=L\sqrt{D}\sqrt{D}^TL^T=L\sqrt{D}(L\sqrt{D})^T$ ，且分解唯一。

如果A是半正定的，也可以分解，不过这时候L就不唯一了.

参考：https://blog.csdn.net/zhouliyang1990/article/details/21952485

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