数论——唯一分解定理
算术基本定理(唯一分解定理)
一句话:
任何大于1的自然数,都可以唯一分解成有限个质数的乘积
例如对于大于1的自然数n,
这里Pii均为质数,其指数aii是正整数。
这样的分解称为的标准分解式。
唯一分解定理具有:
①唯一性(分配方式的唯一性)
②存在性
证明:
百度百科+自己胡搞了+自己以前做的笔记
①唯一性
首先明确一个事实,若p是ab的约数(p|ab,p可以整除ab),则p不是a的约数,就是b的约数。
如果p是a的约数则证毕。如果p不是a的约数,则p和a的最大公约数为1。
则由裴蜀定理推得,因为使a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1。
于是b=b(ma+np) =abm+bnp(……);
因为先前已经知道p是ab的约数,则上式右边两项都可以被p整除。
所以p就是b的约数。
唯一性得证。
②存在性
假设n为不能被分为质数的乘积的自然数之一,切n为最小
因为设n为大于1的合数(如果n为质数,则只有n=n,显然这是质数的乘积)
因为每个合数都可以分为两个大于1小于它的两自然数的乘积
所以n=a×b
又因为n为不能被分为质数的乘积的自然数中最小的一个
所以a和b可以分为质数的乘积
所以n已就可以分为质数的乘积,与假设不符合,故假设错误
存在性得证。
定理应用:
(1)一个大于1的正整数N,如果它的标准分解式为:
,那么它的正因数个数为
(2) 它的全体正因数之和为
当
时就称N为完全数。 是否存在奇完全数,是一个至今未解决之猜想。
(3) 利用算术基本定理可以重新定义整数a和b的最大公因子 gcd(a,b)
和最小公倍数 lcm(a,b), 并证明
a*b=gcd(a,b) * lcm(a,b)
(原来这里直接用的结论,现在知道如何证明的了,证明见下)
(4)此外还可证明根号2是无理数等等。
(5)证明素数个数无限。
证明(3):(用唯一分解定理)
现在我们来看下下下面这个式子:
已知gcd[最小公约数] (a,b),lcm[最大公倍数] (a,b);
a×b=gcd(a,b)×lcm(a,b)
a=12;b=14
gcd(a,b)=2 ; lcm(a,b)=84 ;
tot=168 [gcd(a,b)×lcm(a,b)]
a×b=12×14=168
然后
12=3×4
14=2×7
:
:
12=2^1×2^1×3^1
14=2^1×7^1
所以 max=7^1×3^1×=21
min=2^1×2^1×2^1=8
min×max=168 = gcd(a,b)×lcm(a,b) = a×b
所以gcd(a,b)×lcm(a,b) = a×b
证明:
设x=gcd(a,b),y=lcm(a,b)
则a=m×x,b=n×x,m与n互质
故y=m×n*x
因此x×y=x×(m×n×x)=(m×x)×(n×x)=a×b
即a×b=gcd(a,b)×lcm(a,b)
证明完毕
另加一个用欧拉函数求小于等于n的和n互质的数的数量
公式:
phi(n) = n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pn) 容斥很爆炸
例如 n=12
12=2^2*3^1
phi(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4
与 12 互质的数量是 4个,分别是 1,5,7,11
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