自然底数e究竟“自然”在哪？

在上一篇文章《欧拉公式及其推导》中我们介绍了欧拉公式的来源、意义及其公式推导，在其中涉及到了自然底数的相关知识。在数学中，我们将自然底数记作e，其值为无穷项数的叠加和，是一个无理数，的数学表达式为ex=lim⁡x→∞(1+xn)ne^{x}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}ex=x→∞lim(1+nx)n将x代为1后我们得到了自然底数e的数学表达式e=lim⁡x→∞(1+1n)n=2.7182818⋯e=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=2.7182818 \cdotse=x→∞lim(1+n1)n=2.7182818⋯那么e为什么会被称为自然底数呢？明明是一个非常复杂的无理数，它的自然体现在哪儿呢？为了解决这个问题，我们给出情景：假设当前有一颗1米的树，这棵树的单位时间增长率为1米/年，请问一年后这棵树的长度h为多少米？在这个情景中，如果我们将一年分为12个月的话，我们可以得到这棵树每个月的增长为1/12米，即在一年后的h为h=1×(1+112)12=2.613mh=1 \times\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}=2.613 mh=1×(1+121)12=2.613m若我们将一年分为365天的话，那么树每天增长的长度为1/365米，这样在一年后的h为h=1×(1+1365)365=2.714mh=1 \times\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365}=2.714 mh=1×(1+3651)365=2.714m可以看到，当我们将增长的单位时间从每个月到每天，高度从2.613变为了2.714，可以看到2.714非常接近了自然底数e，但是即使以每天作为增长单位，在这种计算方式依旧是存在问题的，因为树木的增长是一个连续的过程，树木每一刻的增长速度都和当前的高度有关系，所以以天为增长单位也无法描述这个连续的过程。

那么树木经过1年的连续增长之后的高度多少呢？这是我们假设存在一个无穷大的整数n并将这一年分为n份，即增长单位为1/n，由于n趋近与无穷，那么1/n趋近于0，这就符合了连续的增长的过程。因为树木当前时刻的增长速率是和1/n年前的树木高度相关的，而1/n年有趋近与无穷，即可以描述为树木当前时刻的增长速率是和树木当前得高度是相关的，所以以1/n为增长单位的计算方法是符合连续的，其计算公式为h=lim⁡n→∞[1×(1+1n)n]=eh=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[1 \times\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]=eh=n→∞lim[1×(1+n1)n]=e通过上述的假设我们可以得到结论，自然底数e即代表了连续。然而在自然界中大部分事物的发展过程都是符合连续的过程的，连续即代表了自然。所以我们将e称作为自然底数，而e的深层含义即为连续。
最后在上述情景中，若该树木初始长度为a，单位时间增长率为x米/年，那么该计算公式表示为h=lim⁡n→∞[a×(1+xn)n]h=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\mathrm{a} \times\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\right]h=n→∞lim[a×(1+nx)n]根据高数中洛必达法则有如下等式:h=lim⁡n→∞[a×(1+xn)n]=lim⁡n→∞[a×(1+xn)1x/n]=lim⁡n→∞[a×(1+xn)1x/n]x=aexh=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\mathrm{a} \times\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\right]=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\mathrm{a} \times\left(1+\frac{x}{n}\right)^{\frac{1}{x / n}}\right]\\=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\mathrm{a} \times\left(1+\frac{x}{n}\right)^{\frac{1}{x / n}}\right]^{x}=a e^{x}h=n→∞lim[a×(1+nx)n]=n→∞lim[a×(1+nx)x/n1]=n→∞lim[a×(1+nx)x/n1]x=aex在这种情况下树木经过一年的增长长度即为e的x次方乘以a。好了，此次的分享就到此为止了。

那么，屏幕前的你了解自然底数了么？

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